高1 数I-Aの第1章の質問です

質問

春から通う高校からの課題でわからないところがあったので教えていただきたいです。
高1の数学のほんとにはじめのほうの問題です。
掛ける順序や組み合わせを工夫して展開する問題で、
(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
の工夫のやり方がわかりません。
解答には解説が載せられていないので困っています。
よろしくお願いします。

回答No.3

f272

3項の式が4つをかけるのですから，そのまま展開すれば3^4=81項が出てきます。もちろんこの中には同類項があって項数を減らすことができます。
さてこの例の場合は元の式のx，y，zのどの2つを入れ替えても全く同じ式になります。こういう性質(対称性)があるので
x^4，y^4，z^4の係数は同じ
x^3*y，x^3*z，y^3*x，y^3*z，z^3*x，z^3*yの係数は同じ
x^2*y^2，x^2*z^2，y^2*z^2の係数は同じ
x^2*yz，x^y*xz，z^2*yzの係数は同じ
であり，これですべての項を尽くしています。
それでは試しにx^4の係数を調べてみると，
(X+y+z)(-X+y+z)(X-y+z)(X+y-z) --> -1
の大文字にしたところをかけた場合ですので，簡単に-1だとわかります。
x^3*yの係数は
(X+y+z)(-X+y+z)(X-y+z)(x+Y-z) --> -1
(X+y+z)(-X+y+z)(x-Y+z)(X+y-z) --> 1
(X+y+z)(-x+Y+z)(X-y+z)(X+Y-z) --> 1
(x+Y+z)(-X+y+z)(X-y+z)(X+Y-z) --> -1
を足したもので0になります。
同様にして，x^2*y^2の係数は2，x^2*yzの係数は0だとわかりますので，結局与えられた式は
-x^4-y^4-z^4+2x^2*y^2+2x^2*z^2+2y^2*z^2
になります。

回答No.2

gamma1854

４つの因数をじっと見てると次のような方法が浮かびます。
(与式)={(y + z) + x}{(y + z) - x}{x - (y - z)}{x + (y - z)}
={(y + z)^2 - x^2}{x^2 - (y - z)^2}
=-{x^2 - (y + z)^2}{x^2 - (y - z)^2}
この先は自身で展開してください。
※ (A - a)(A - b) の形になっています。
---------------------
また、与式において、x+y+z=A などとおいても簡単に処理できます。
A(A - 2x)(A - 2y)(A - 3z)
=A^3 - 2A*A^2 + (4xy+4yz+4zx)A - 8xyz
=...

回答No.1

Reynella

この場合の工夫は、別の文字を使って置き換えるということ。
x＋yと、x-yをそれぞれ別の一文字に置き換えるんです。