同心球殻の電気抵抗に関して

質問

こんにちわ．
電磁気学を勉強していて，わからないことがあるため，質問させていただきます．

内球の半径がa，外球の半径がbの同心球間を導電率σの媒質で満たした場合の，球殻間の電気抵抗は，R=1/4πσ*(1/a-1/b)で求まると思います．

ここまでは，よくある問題で算出過程に疑問はありません．
わからないのは，この式の物理的な意味です．
(球殻間の電気抵抗ということは理解しています)

さっきの式を展開すると，
　R=(1/4πσa) - (1/4πσb)
になると思います．
これは，単位から考えると，(内球の抵抗) - (外球の抵抗)かと思うのですが，電気抵抗の引き算に違和感があります．
直列接続でも，並列接続でも引き算は登場しないからです．

テキストなどはこの式の導出で終わっていることが多く，よくわかりません．
(1/4πσa) - (1/4πσb)とは何を意味するのでしょうか？
問題の解に関して，このような疑問を挟むのは考えすぎかとも思いますが，
ご存知の方がおられましたら，教えてください．

回答No.3

teppou · ベストアンサー

少し丁寧に。
　質問文中の式は、半径の変数を r とすると、半径 a から b まで、表面積 × dr を定積分して求められたものです。
　一般的に a から b まで定積分するということは、0 から b までの定積分から 0 から a までの定積分を引いたものと考えることができます。
　この問題の場合は、半径 0 の点を除外しなければなりませんので、無限遠から a までの定積分から、無限遠から b までの定積分を引くと考えます。つまり引き算になります。
　これは、思考実験的には、無限遠から a までの無限長の抵抗器のうちの a,b 間の抵抗はいくらの値になるかと考えることに相当します。
　こう考えると、引き算を納得できるのではないでしょうか。

お礼

丁寧な説明をありがとうございました．
なぜ，引き算となるのか良く分かりました．
ありがとうございました．

回答No.2

feles_c

1/4πσr は rを無限大にすると0になることから...

半径 r　の球の外側が導電率σの媒質で満たされているときの、無限遠の外側と球との抵抗が 1/4πσr だと考えてみる。
この設問で外球の外側はどうでもよいはずなので、やはり導電率σの媒質で満たされているとしてみると、無限遠から内球までの抵抗 = 無限遠から外球までの抵抗 + 外球から内球までの抵抗。
移項すれば、外球から内球までの抵抗 = 無限遠から内球までの抵抗 - 無限遠から外球までの抵抗

と考えてみたのだけど、

回答No.1

okormazd

適当な長さの抵抗線の長さaから長さbの間の抵抗を求めてください。
「引き算は登場しない」ではなくて引き算になりませんか。