物理：球コンデンサ（同心円でない）

質問

タイトルのように物理の球コンデンサについての質問です。

条件は、

導体球A,Bがあり、その半径をa,bとおく。
中心間の距離をdとし、d>>a+bとする。
このときAを接地して、この系をコンデンサとみなしたとき、その電気容量を求めよ。

という感じです。

同心球の問題はやったことがあるのですが、球のコンデンサは初めてで、どうやればよいか全くわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra

Bに+Qの電荷を与えた時にどのような電界が作られるか、その電界を積分してBの電位を求める問題です。
問題は導体A,Bの表面上の電荷密度は場所により異なるため単純に真中にすべての電荷が存在すると置き換えることができないということです。

計算方法としては、
・電気鏡像法を無限回適用、それぞれの電荷の作る電場を足し合わせる。無限に足しあわされた関数の積分を求めることになる。
・適当な座標をとり、ラプラス方程式を解く。
くらいがすぐに思いつきます。

電気鏡像法を使い解く方法を説明します。
まず、座標を適当に取ります。A→B方向にx軸をとりAの中心のx座標を0とします。(もちろんBの中心のx座標はd)
Bの中心に電荷+Qをおきます。

このBの電荷に対応するAに誘起される鏡像電荷-qをAの中におきます。その座標およびQ'の大きさは球体における鏡像電荷はたぶん教科書に載っているはずなのでここでは説明しません。

Aに電荷があるとその影響でBの表面電荷分布が変化します。その影響を二つの電荷で表します。
一つは-qに対応する鏡像電荷q'です。そしてもう一つ、q'を置くことで電荷量が変化してしまうためそれを打ち消すため同じ大きさの電荷-q'を球の中心におきます。

さらにその二つの電荷に対応する鏡像電荷をおきます。

これを無限に繰り返し、無限個の電荷の並びを得ます。Bにおいては必ず対応する鏡像電荷を二つ置かないといけない点が面倒です。ある種の法則性を見出さないと計算は難しいでしょう。
これらの電荷によって作られる電界を求め、それをx:d→∞で積分するとB表面の電位が得られます。

お礼

解決しました！
ありがとうございました。

回答No.1

noname#175206

すみません、式の導出という大事な部分を省略して、ヒントと結果だけ。

>導体球A,Bがあり、その半径をa,bとおく。

→「電荷Qを与えたとして、どちらの導体球も中心に電荷Qが集まったとして電場を計算していいですよ」の意図です。

　一つの導体球なら与えた電荷は表面に均等に分布し、導体球の外では、電荷が中心に集まったのと同じ式になることは、教科書や問題集でよく扱われます。

　お解きになったか、例題をご覧になられたことがおありではないでしょうか。もし、まだでしたら、教科書や問題集、あるいはネットでお探しになれば、解法例があるかと思います。

>中心間の距離をdとし、d>>a+bとする。

→「電荷Qを与えた導体球A,Bの作る電場は互いに影響しないと考えていいですよ。つまり、それぞれ独立に考えた電場でいいですよ」の意図です。

>このときAを接地して、この系をコンデンサとみなしたとき、その電気容量を求めよ。

→「Bに電荷Qを与えれば、Aには電荷-Qと、大きさが等しくて電気的に正負反対の電荷が溜まりますよ」の意図です。
　身近な例では、ご存じでしょうけど、静電気である雷雲が発生すると、大地には自然に正負反対で雷雲と大きさが雷雲と同じ電荷が溜まり、自然のコンデンサーとなります。
　導体球も接地したら、他の電場から受ける影響で電荷を大地から受けるということですね。

　つまり、

１）電荷Qの点電荷Bがあるとして、それの無限遠＝0との電位差を求める。
（中略）
　……ですが球表面や内部に一様に電荷Qがあるときの式の導出は、確認しておいて損は無いです。外部では中心に点電荷Qがあるのと同じ、球表面だけに電荷なら球内部に電場なし、球内部に一様な電荷なら内部ではその外の電荷の寄与が0になります。電位差もそこから求まります。
　これはいろいろな形で頻出だと思いますし、式の形が同じことから、ニュートンの重力式でも同じになることも分かります。

２）電荷Qの点電荷からr離れた位置の電位は、半径rで電荷Qの導体球表面の電位と考えてよい。

３）半径rの導体球表面の電位Vは、V ＝ Q/(4πεr)。ちなみに、この孤立した点電荷だけ考えると、Q＝CVより、C = 4πεr。（注：真空中は、普通ε0と書くのですけどややこしいので）

４）距離dの位置に電荷-Qの点電荷Aがあるとして、その無限遠との電位差は正負反対で１）と同じ。

５）距離dで、電荷がQ点電荷Aと-QのBの電位差を計算する（d＞＞a, bより、a, bは無視できる）。

６）これは単純な重ね合わせ、つまり足し算、あるいは引き算でOK。V＝2Q/(4πεd)＝ Q/(2πεd)

７）Q＝CVより、C＝2πεd

　……で、いいのかなあ、うーん。電磁気は不得手ですので、正しいかどうか、ご確認をお願いします。