球殻間の空間の静電位におけるLaplace方程式

質問

真空中に半径がaおよびbの２同心導体球殻からなるコンデンサーがある。
それぞれの球殻には総量＋Q[C]、-Q[C]の電荷が一様に分布している.
球殻間の空間に電荷はないから、球殻間の空間の静電位はLaplace方程式
を充たしている.

[1]このような球対称の電荷分布を持つ問題では同心球殻の中心を原点とする
極座標(球座標)系(r,θ,φ)を使ったほうが便利である.Laplace
方程式の球座標系における表式を書け.
[2]電位V(r,θ,φ)はγのみの関数であることが分かる.従ってVをθお
よびφで微分したものは零になる.このときのLaplace方程式を書け.
[3][2]の方程式を解き,V(r)の関数形を求めよ. 未定定数はそのまま
残すこと.
[4]V(r)の勾配に(-1)を掛けて位置 r=aにおける静電場を求めよ.

以上の問題について回答を宜しくお願いします.贅沢を言えば[1]以外の問題
についてを特にお願いします.

回答No.1

brogie

簡単なところは、ヒントだけです。これぐらいは努力しないと身につきません。

[１]について

∂^2V/∂r^2＋(2/r)∂V/∂r
　　　　　＋(1/r^2sinθ)∂(sinθ∂V/∂θ)/∂θ
　　　　　＋(1/rsinθ)^2・∂^2V/∂φ^2
＝0

[２]について

d^2V/dr^2＋(2/r)dV/dr＝0
または
(1/r^2)d(r^2(dV/dr))/dr＝0
とも書ける。

[３]について

[２]の2番目の式は簡単に積分ができます。
積分定数を忘れずに！
（未定定数はそのまま残すこと.と書かれています）
この定数は境界条件で決まります。

[４]について

電界Eは
E＝－dV/dr
ですから、Vをｒで微分して、－をつければよい。

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