重心のｘｙ座標が関わる問題についてです。

質問

長さ１６ｃｍの針金をL字に直角に折り曲げた。重心の座標(x［G］、ｙ［G］)を求めよ。
画像のG１，G２は共に下向きの質量が働いているんですか（G２は水平左向きに質量が働いているという事はないですよね）？
解答にて例えばｘ［G］＝｛（3ｍ/4）×６｝/m
と分母がなぜかｍ（３/4ｍではないんですか？以下の式のようにG１の質量も足したという事ですか？）になっているんですが、どうしてですか？
ｘ［G］＝｛（3ｍ/4）×６｝+｛（ｍ/４）×０｝/｛（3ｍ/4）+（ｍ/４）｝

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

問題は、長さ16cmの針金を、4cmと12cmになる位置で直角に折り曲げた「Ｌ字型の針金」の重心位置ということですよね？
　G1は「12cmの針金」の方の中点（「12cmの針金」の重心）、G2は「4cmの針金」の方の中点（「4cmの針金」の重心）ということですね？
　「m」は、針金全体（16cm）の質量ですか？

　こういう「条件」をきちんと書かないと、問題を正しく解けません。

　以上の条件であれば、「質量16mのＬ字型の針金」の重心は、「質量(12/16)mの質点G1と、質量(4/16)mの質点G2の2質点系の重心」と等しくなることは分かりますよね？

　このことから、重心は質点G1と質点G2とを結ぶ直線上にあり、その線分の長さを質量の逆比（＝(4/16)：(12/16)）に分割する位置となります。

　ここで、「4/16」は、「全体の質量 m のうちの、G2の質量 (4/16)mの割合」ですし、 「12/16」は、「全体の質量 m のうちの、G1の質量 (12/16)mの割合」です。「割合」なので、全体の質量「m」で割っています。

　ご質問の図のような配置でも、G1のx座標が「6」、G2のx座標が「0」で、その間の線分の長さは「6cm」、これをG1から見て (4/16)：(12/16) に分割するx座標を計算をしているだけです。「全体の質量 m のうちの、G1の質量 (12/16)mの割合」なので、全体の質量 m で割っているのです。
　要するに、(12/16)m：(4/16)m の比率に分割するので、共通の「m」で割って(12/16)：(4/16) を求めている、ということにすぎないのです。

　この比率は、重心の周りの力のモーメントのつり合いから決まります。
　重心の周りの力のモーメントは、

　　　（力のモーメント）＝（腕の長さ）×（力）

で、「腕の長さ」は「力に直角な、重心から力の作用点までの距離」ということです。

　重力は、（重力）＝（質量）×（重力加速度g）ですから、重力による力のモーメントは、

　　（力のモーメント）＝（腕の長さ）×（質量）×（重力加速度g）

ということになります。

　重心に対する質点G1の力のモーメントは、

　　（G1の力のモーメント）＝（重心からG1への腕の長さ）×（G1の質量）×（重力加速度g）

　同様に、重心に対する質点G2の力のモーメントは、

　　（G2の力のモーメント）＝（重心からG2への腕の長さ）×（G2の質量）×（重力加速度g）

　重心から見れば、この２つが釣り合うので、

　　　（重心からG1への腕の長さ）×（G1の質量）×（重力加速度g）
　　＝（重心からG2への腕の長さ）×（G2の質量）×（重力加速度g）

　これを変形すれば、

　　（重心からG1への腕の長さ）／（重心からG2への腕の長さ）
　　＝（G2の質量）×（重力加速度g）／（G1の質量）×（重力加速度g）
　　＝（G2の質量）／（G1の質量）

となって、腕の長さの比率は力の逆比、重力の場合には質量の逆比になることが分かります。
　力のモーメントのつり合いの結果が、力の逆比、重力の場合には質量の逆比になっているということです。

お礼

ありがとうございます(^^♪
おかげ様で割合という概念で理解が一歩進みました(・・)
その解き方、とても良く分かりました～

回答No.1

gohtraw

＞画像のG１，G２は共に下向きの質量が働いているんですか
下向きだろうが横向きだろうが重心の位置は変わりません。

＞G２は水平左向きに質量が働いているという事はないですよね
質量が働くのではなく重力ね。重力の向きがてんでばらばらといいう
ことは普通ないでしょう。

＞どうしてですか？
G1に針金12cm分、G2に同じく４ｃｍ分の重力が働いていると
考えれば、あとはそれこそ「逆比」でしょ？計算してみて。

お礼

ありがとうございます(^^♪
逆比の解き方、なんとか理解出来ました！