曲がった針金の重心

質問

30センチの一様な断面を持つ針金を図の様に曲げ
左端から15センチの所を直角座標系の原点を取る

このときの重心(Xg,Yg)はどうやって求めるのですか？

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

htms42

重心というのは「分布している質量が一点に集中していると考えてもかまわない」のことです。だからその点で支えると釣り合うのです。逆につり合いの位置を探せば重心がわかります。
同じ質量の重りが軽い棒の両端にぶら下がっていれば重心は中央の点にあります。
おもりが左に１つ、右に２つであれば真ん中を持っても釣り合いません。右に少し支点をずらさないとだめです。棒の長さの右から１／３のところを支えると釣り合います。（モーメントの考えを使っていないわけではありません。この程度であれば意識しないでもいいだろうというものです。）

簡単な図形のばあいには重心はすぐにわかりますね。
棒だと真ん中の位置、円だと中心、長方形だと対角線の交点、・・・

簡単な図形ではない場合、重心のわかる図形に分解して考えます。
重心のわかる部分はおもりに置きなおせばいいです。

ご質問の図形でいえば４つの直線図形に分ければいいということです。５cmの長さの部分が２つ、１０cmの長さの部分が２つです。この各部分の重心（棒の中央）におもりがあるとしてぶら下げてどこで釣り合うかです。モビールをぶら下げる時を想像すればいいです。５cmの部分の重さをＷとすると１０cmの部分の重さは２Ｗです。４か所におもりがあるのですがどういう順番で組み合わせて考えるのかは自由です。
＃２様の図を借りて説明することにします。
ＡＢとＤＥを組み合わせます。ＡＢの中点Ｇ１におもり２つ、ＤＥの中点Ｇ４にもおもりが２つです。Ｇ１とＧ４の中点（Ｂです・・・Ｇ１４とします）におもりが４つあると考えたのと同じです。
ＢＣとＣＤを組み合わせます。Ｇ２とＧ３の中点におもりが１つずつあります。Ｇ２，Ｇ３の中点（Ｇ２３とします）におもりが２つあると考えたものと同じです。
Ｇ１４におもりが４つ、Ｇ２３におもりが２つですからＧ１４とＧ２３を結んだ線のＧ１４から１／３のところで支えると釣り合います。

回答No.3

info22_

No.2です。

重心Gを図またはXY座標平面を使って作図的に求めます。
訂正された針金の図を座標平面に描き直して添付しました。
座標平面の1が1cmに相当します。
針金の折れ点を図のように左から順にA,B,O,D,Cとします。
GとGに下付き添字番号を不した記号は、針金の全体または一部の重心の位置を表わしています。

10cmの針金ABとCDの重心はそれぞれの針金の中点の位置G1(-5,-5)と
G4(5.-5)にあり、
5cmの針金BOとDOの重心はそれぞれの針金の中点の位置G2(0,-5/2)と
G3(5/2,0)にあります。

針金ABO（青）と針金CDO（赤）は合同（同じ形状）であり、
針金ABO（青）を原点O(0,0)を中心に左回り（反時計回り）に90°回転すると針金CDO（赤）に完全に重なります。
このABOとCDOは、ABOを原点中心に90°回転した回転合同図形である…(※)ことを利用して重心を求めます。
針金ABと針金BOの質量比は、長さに比例することから2:1になります。
針金ABOの重心G5は、重心G1と重心G2を結ぶ線分G1-G2上にあって、線分G1-G2を質量比の逆比の1;2に内分する点であることから,内分点の公式から、
G5((-5*2+0*1)/3,(-5*2+(-5/2)*1)/3)=(-10/3,-25/6)
となります。
また針金CDOの重心G6は、（※）より針金ABOの重心G5(-10/3,-25/6)を原点中心に90°左周りに回転した位置に来ることから
　G6(25/6,-10/3)
と求まります。
針金ABOと針金CDOは合同図形であり、長さが等しいことから質量比は
1:1　です。
従って
合同な針金ABOと針金CDOを合わせた針金全体ABODCの重心G(Xg,Yg)の位置は
線分G5-G6の中点の位置になることから、

　Xg=(-(10/3)+(25/6))/2=5/12,
　Yg=(-(25/6)-(10/3))/2=-15/4

と得られます。

参考URL
ttp://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/3-2-0-0/3-2-3-4jyuusinn.html
の中の「2物体の重心の位置」の公式の所

以上の針金の一部または全体の重心の位置G1,G2,G3,G4,G5,G6とGの添付図により確認してください。
また参考URLの中の「2物体の重心の位置の公式」が線分の内分点の公式と同じ形になっていることに注目したいですね。ただ、線分の内分比が2物体の質量比の逆比に対応していることを覚えておいてください。

参考URL：

http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/3-2-0-0/3-2-3-4jyuusinn.html

回答No.2

info22_

[質問]
問題文の針金の長さが30cmで
図の赤い線の針金の長さが30cmより長い。左側の垂直の部分の長さの分だけ、図の方の針金の長さが長くなります。

問題をチェックして正しく直して、補足に回答願えませんか？？

補足

すみません
確認した所、原点(書き忘れ)から左に5センチの部分はありませんでした。

座標で説明させて戴くと左端(-10、-5)から(0、-5)まで10センチ
(0、-5)から(0、0)まで5センチ

(0、0)から(5、0)で5センチ

(5、0)から(5、-10)で10センチの針金になります。

あと問題にはX軸Y軸を利用して解答してもよいとあります。

更にモーメントは使わないみたいです。

よろしくお願いいたします

回答No.1

shintaro-2

>このときの重心(Xg,Yg)はどうやって求めるのですか？

多分、
重心に関するモーメントの式を作成し、モーメントが０になるようなXg,Ygを求めるということでしょう。

とりあえず、Xg,Ygを独立に求めるのが楽だと思います。
（ex.Xｇを求めるときは、Y方向に曲げられた部分はその長さに対応する質点に置き換える）