数学 数1 2次関数の質問です

質問

途中式と説明、解説や考え方をかなり詳しく教えて下さい。
二次関数y=x^2+(k-3)x+3kのグラフと直線y=-(k+2)x-5/2(2分の5)のグラフが共通点を持つようなkの値の範囲にあるものは 次のうちのどれか
(1)-1 (2)0 (3)1 (4)2 (5)3

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#215361

ANo.3の回答者です。
補足質問に対して回答致します。
まず、2*3=6≧0はよろしいですね。
しかし、（-2）*（-3）=6≧0でもあります。
つまり、（2k+1）（2k-9）≧0を解くには、次の2通りの場合を考えなくてはなりません。

(1)2k+1≧0かつ2k-9≧0
2k+1≧0からk≧-1/2、2k-9≧0からk≧9/2
これらの共通範囲なので、k≧9/2
(2)2k+1≦0かつ2k-9≦0
2k+1≦0からk≦-1/2、2k-9≦0からk≦9/2
これらの共通範囲なので、k≦-1/2

以上から、（2k+1）（2k-9）≧0を満たすのは、k≦-1/2またはk≧9/2

回答No.3

noname#215361

ANo.2の回答者です。

定石通りに考えると、結局はANo.1の方の回答と同じになってしまうのですが、
D=4k^2-16k-9=(2k+1)(2k-9)≧0
これは、単に2次不等式を解くことになり、
k≦-1/2，k≧9/2
この範囲にあるのは、(1)-1

補足

補足質問させていただきます。
この式の途中式からなぜ符号が変わるか教えて下さい。
（2k+1）（2k-9）≧0
（2k+1）≧0
2k+1≧0
2k≧-1
k≧-1/2
になるのですがなぜ答えがk≦-1/2になるのでしょうか？

回答No.2

noname#215361

邪道ですが、取り敢えずANo.1の方の回答を利用させて頂き、
D=4k^2-16k-9
=4（k^2-4k）-9
=4｛（k-2）^2-4｝-9
=4（k-2）^2-16-9
=4（k-2）^2-25
この式に、（1）から（5）までの値を代入します。
式が簡単なので、暗算で出来ます。

（1）-1
D=4（k-2）^2-25=36-25=11≧０
この問題が択一式のものであれば、これで終わりです。
（2）0
D=4（k-2）^2-25=16-25=-9＜0
（3）1
D=4（k-2）^2-25=4-25=-21＜0
（4）2
D=4（k-2）^2-25=-25＜0
（5）3
D=4（k-2）^2-25=4-25=-21＜0

以上から、答えは（1）-1。

回答No.1

noname#261884

y=x^2+(k-3)x+3kのグラフと直線y=-(k+2)x-5/2(2分の5)
の共通点を（x,y)とします。すると二つはイコールで結べますね。

x^2+(k-3)x+3k＝-(k+2)x-5/2

これをxの方程式にまとめてみます。

x^2+(2k-1)x+3k+5/2 = 0

ここでxは必ず実数解を持つはずですよね。
なぜならxは共通「点」だからです。
ということは、この方程式を解の公式で解いたとき
ルートの中身（判別式Ｄ）は正になるはずです。

D= (2k-1)^2 -4*(3k+5/2)
D= 4k^2-4k+1-12k-10
D= 4k^2 -16k -9
D= k^2 -4k -9/4 >=0

ここで　f(k) = k^2-4k-9/4 という関数を考えます。
k軸との交点を求めたいので、f(k)=0　と言う方程式を解きます。

k= {4 ± √(4^2+4*9/4}/2 = {4± √25}/2 = {4±5}/2
k=9/2, -1/2
k= 4.5, -0.5
f(k)はこの二点で横軸と交わります。
ここでf(k)>=0でなければならないことを思い出してください。
繰り返しますがf(k)(判別式Ｄ）＞=0であることが問題の二式が
共通点を持つことと同じ意味なのです。

手書きでいいので、-0.5と4.5で交わる適当な二次関数のグラフを
書いてみてください。その図を見ながらf(k)>＝０でなければならない
ということのグラフ上での意味を考えてください。
つまりグラフのどの範囲が有効か？分かりましたね。
f(k)>=0となっているのはk>=4.5の部分と、k<=-0.5の部分です。

選択肢でこの範囲にあるのは、選択肢(1)の-1のみですね。
以上より回答は(1)となります。

ご参考になれば幸いです。