２次関数

質問

すいません、またお世話になります。
y＝x^2－2x のグラフをx軸方向にa、y軸方向に 2a－1 だけ平行移動したグラフをCとするとき、次の各問に答えよ。
(1)Cが直線y＝x 相異なる2点で交わるとき、
{1}aの値の範囲を求めよ。
{2}2つの交点のx座標がともに1以上となるようなaの値の範囲を求めよ。

複合(？)した、２つの関数のとっつき方がいまいちわかりません。どういう風に考えればよいでしょうか？

回答No.2

Naoki_M

2つのグラフを同時に考えるとわかりづらいので、グラフを1つだけにすればよいと思います。

{1}
Cを表す式をy=f(x)とおくと、「Cが直線y=xと相異なる2点で交わる」ことは、「放物線y=f(x)-xがx軸と相異なる2点で交わる」、つまり「二次関数f(x)-x=0が2つの実数解をもつ」と同値です。二次関数の判別式を使えば解けます。

{2}
二次関数の解の公式を使えば解けますが、使わなくても解けます。y=f(x)-xのグラフをC'とします。「Cと直線y=xの交点のx座標」と、「C'とx軸の交点のx座標」は同じです。次の3つの条件が全て成り立てばよいので、それぞれの条件を満たすaの範囲を求めて、その共通部分が答えになります。
・C'はx軸と相異なる2点で交わる（これは{1}で計算済み）。
・C'の頂点のx座標は1よりも大きい。
・x=1のとき、C'のy座標は0または正。

補足

なんか、皆さん、私が考えてることとずれてる気がします。この問題は解けます。
＞あくまで座標値は考えない場合ですよ。
この前、このように書いてありました、
どういうことでしょうか？この、言葉でわけがわからなくなりました。

回答No.1

tan816

またまたこんばんわ。
これは答えを書いていいのですかな？

図に書いてみればわかりやすいですよ。
まずは平行移動したあとの式等は無視して、
y＝x^2－2x とy＝x のグラフを同一平面状に書いて見ましょう。

このときは２点で交わっていますね。
言葉でいうと、y＝xの図を動かしていくと、そのうち交わる点が１点、そして１点も交わらないというふうになってきます。

んで、こｋで平行移動の式を考えます。
問題では２次関数を動かしますが、まあ１次関数を符号を変えて動かしても、求めたいのはaなので問題はないというのは前回書きました。

でも別にそのまま２次関数を平行移動してもいいので、そのままやってみましょう。

x軸方向にaなのでxにx-aを代入します。
y軸方向に 2a－1なのでyにy-2a+1を代入します。
するとy=x^2-(2a+2)x+a^2+4a-1という式となります。

ここで、y=xと合わせてyを消去し、左辺を０にするようにxを右辺に移行して、解の公式より１つしか交わり点がないときのaを出せば、必然的に(1)はできると思います。

(2)も解の公式から１以上の解になるようなaの範囲を求めればいいと思いますが。

とりあえずこんなところにしておきます。