自然数7^777の先頭、末尾の数字

質問

問題で、自然数N=7^777について、log2=0.3010, log5=0.6990, log7=0.8451を利用して、次の問に答えよ。というもので、
Nは何桁の整数か？という１の問題には、ただ代入することで解くことができましたが、
２のNの先頭の数字は何か？という問題と、３のNの末尾の数字は何か？と言う問題がどうしても解けません。
おそらくlog2やlog5の値を利用して、log7を作って解くのだろうと思いますが分かりません。
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

指数対数の応用ですね。桁数の計算は教科書にあってわかりのですが
質問にある、最高位の数・１の位の数は参考書を見ないと解りにくいと思います。

7^777でやって見ましょう
最高位の数は桁数を求めるのとよく似ていますが

log7^777＝777log7＝777*0.8451＝656.6427
より7＾777＝10^(656.6427)＝10^(0.6427)*10^656
桁数は10^656を使って出しますが、最高位の数は10^(0.6427)の方から出します
ここから10^(0.6427)の近似を計算します。ここがポイントです。

10^0<10^(0.6427)<10^ですから10^(0.6247)の整数部分は１桁の整数です。
つまり10^(0.6427)＝*.*****という形の数です
これが最高位の整数を表します。
ここからは0.6427に近い対数を探します。
log5=0.6990ですからlog4＝0.6020
0.6420＜0.6427＜0.6990からlog4<0.6427<0.6990
つまり4<10^(0.6427)<5
10^0.6427=4.??????という数ですから
7＾777=(4.?????)*10^656という整数です
よって、最高位の数は4です
＞２のNの先頭の数字は何か？
という問題も同じで、常用対数をとってその値の小数部分に注目して近似を求めるのです

一方、１の位の数は「１の位の数は１の位の数どうしの掛け算」から計算するので7^4=2401７の４乗の１の位の数は１になる事を利用します
777=4*194+1ですから7^777=7^(4*194)*7
１の位の数は7です

＞３のNの末尾の数字は何か？
これも７と同じで3^4＝８１から４乗すると１の位が１になる事を利用します

お礼

わかりやすい回答どうもありがとうございました。
理解することができました！

回答No.1

ryuta_mo

２．log nを整数部分と小数部分に分けて考える
log N = 656.6427
N = 10^656*10^0.6427
log4<0.6427<log5

３．
x^(y+z) = x^y * x^z
x^(n*m) = (x^n)^m

mod 10 は 10で割ったあまり
7^2 mod 10 = 9
9^2 mod 10 = 1
1^2 mod 10 = 1

7^(4*n) mod 10 = 1

お礼

ありがとうございます。
３番のやり方は僕には難しかったですが、２番はよく理解することができました。