集合の要素の個数

質問

2桁の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。という問題です。
(1)4で割り切れない数
(2)4でも6でも割り切れない数
全体集合n(U)の個数がなぜ90になるのか解説お願いします。

回答No.4

kiha181-tubasa

No.２です。
（１）（２）の計算では１桁の数もカウントしてしまいましたね。失敗失敗。
Ａ＝{4*3，4*4，……，4*24}
でｎ(Ａ)＝22が正しかったです。
以降も同じ失敗です。No.３の回答の計算が正しいです。失礼しました。

お礼

自分も最初同じ間違えしてました😅
わざわざありがとうございます

回答No.3

info33

>全体集合n(U)の個数がなぜ90になるのか解説お願いします。
2桁の自然数は 10, 11, ..., 98, 99 なので
99-9=90 個になる。

(1)4で割り切れない数
90-n(4の倍数)=90-n({12, 16, 20, ... , 96} )
=90-(24-3+1)=90-22=68 個 ... (答え)

(2)4でも6でも割り切れない数
n(6の倍数)=n({12,18,24, ...,96})=n({2,3,4, ... ,16})=16-1=15 個
n(12の倍数)=n({12,24,36, ...,96})=n({1,2,3, ... ,8})=8 個

90-(n(4の倍数)+n(6の倍数)-n(12の倍数))
=90-(22+15-8)=90-29=61 個 ...(答え)

お礼

ありがとうございます
分かりやすかったです！

回答No.2

kiha181-tubasa

まず全体集合から。「２桁の自然数の……」とあるので，全体集合は２桁の自然数全体の集合となります。つまり，１０以上９９以下の自然数全体の集合です。
Ｕ＝{10，11，……，99}
ですから，要素の個数は90。したがってｎ(Ｕ)＝90です。

（１）４で割り切れない数
２桁の自然数で４で割り切れる数は４の倍数です。
２桁で一番大きい数は4*24＝96ですから，２桁の自然数で４で割り切れる数の集合Ａは
Ａ＝｛4*1，4*2，……，4*24｝
（このように4*○と書くと個数がわかりやすいですね）
つまりｎ(Ａ)＝24
従って４で割り切れない数の個数は
ｎ(Ｕ)ーｎ(Ａ)＝90－24＝66　……　(答)

（２）「4でも6でも割り切れない」数の集合は，「4または6で割り切れる」数の集合の補集合です。
６で割り切れる数の集合をＢとします。
（※予備計算）99÷6＝16あまり3　（小学校の計算ですがこれ重要）
から，99＝6*16+3。つまり6で割り切れる数で一番大きい数は6*16＝96です。（予備計算終わり）
Ｂ＝｛6*1，6*2，……，6*16｝
よってｎ(Ｂ)＝16
次にＡ∩Ｂは，4でも6でも割り切れる数，つまり4と6の最小公倍数12で割り切れれる数の集合ですから
Ａ∩Ｂ＝｛12*1，12*2，……，12*8｝
よって，ｎ(Ａ∩Ｂ)＝8
これから，「4または6で割り切れる」数の集合Ａ∪Ｂの要素の個数は
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)＝26+16-8＝34
ゆえに，4でも6でも割り切れない数の個数は
ｎ(Ｕ)ーｎ(Ａ∪Ｂ)＝90-34＝56　……　(答）
となります。

お礼

詳しく解説して下さってありがとうございます！
とても分かりやすかったです。助かりました😌

回答No.1

gamma1854

２けたの自然数・・・とあります。すなわち、
10, 11, ...., 89, 99
の90個です。これにどのような解説がほしいのかを詳しく書いてください。

お礼

ありがとうございます
理解出来ました！