数I、場合の数の問題です

質問

９０以下の自然数について、
９０との最大公約数が１である数は何個か

答えは２４個ですが、計算方法がわかりません。
わかりやすく解説して頂けましたら幸いです。

回答No.3

Mathmi

90を素因数分解すると、2*3*3*5です。
90との最大公約数が1で「ない」数とは即ち、2、3、5を因数に持つ数、つまりは2、3、5の倍数です。

90以下の自然数において
2の倍数は45個
3の倍数は30個
5の倍数は18個
2の倍数でも3の倍数でもある＝6の倍数は15個
2の倍数でも5の倍数でもある＝10の倍数は9個
3の倍数でも5の倍数でもある＝15の倍数は6個
2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもある＝30の倍数は3個
です。

べん図を描くと分かりやすいのですが、以上から2、3、5の因数を持つ数は
(45+30+18)-{(15+9+6)-3}=66個

よって、90との最大公約数が1である数は、90-66=24個となります。

回答No.2

papabeatles

済みません。９０の公約数と勘違いしました。
分かりません。
８９、８３と互いに素になる数を数えた方が早いと思います。
７９、77、７３、７１
６７、６１
５９，５３、
４９、４７、４３、４１
３７、３１
２９、２３
１９、１７、１３、１１
７、１
です。
　全部で24個です。

お礼

ご回答頂きありがとうございます！
８９と８３というのを一発で見抜けませんでした…。
丁寧に教えて頂いたのに、まだよくわからないです(泣)
２の倍数は…、３の倍数は…と考えていたのですが、よくわからなくなり質問させて頂きました。

回答No.1

papabeatles

90を素因数分解します。
２＊３＾２＊５ですので。
２＾１、２＾０＝１で２通り
３＾０、３＾１，３＾２で３通り
５＾０、５＾１で２通りです。
　答えは２＊３＊２です。