最大公約数

質問

教えてください！

「７と０」の最大公約数と「７と－７」の最大公約数は、どちらも７になるのはなぜですか？

できたら、詳しい解説よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

＃３です。

７と０の最大公約数は、「７」ではなく「７と－７」ですよ。
７の約数は { ±１, ±７ } の四個、０の約数は任意の整数ですから、
７と０の公約数は { ±１, ±７ } 。
この四個の内、自分以外の三個の倍数であるものは { ±７ } です。

整数 a,b に対して ax = b となる整数 x が存在することを、
「a は b の約数である」「b は a の倍数である」と言います。

お礼

なるほど！
これですっきりしました。
ありがとうございました！！

回答No.3

arrysthmia

算数で言う「最大公約数」と
代数学で言う「最大公約数」は、少し違います。

算数で言う「最大公約数」は、
二つの自然数の公約数の内、(自然数の大小比較で)最大のもののことです。
「７と０」や「７と－７」の最大公約数は、定義されません。

代数学で言う「最大公約数」は、
二つの整数の公約数の内、全ての公約数の倍数になっているものことです。
「７と０」も「７と－７」も、最大公約数は ７ と －７ の二個あります。
有理整数(普通の整数のこと。「整数」と呼ばれるものは他にもある。)では、
最大公約数は ±１ 倍を除いて一意に(要するに正と負のものが一個づつ)
存在することが知られています。

補足

返答ありがとうございます。
しかし・・・
>>二つの整数の公約数の内、全ての公約数の倍数になっているものことです。

７と０の最大公約数がなぜ７なのか・・・
もう少し詳しくお願いします。
理解できなくてほんとすみません！！

回答No.2

Willyt

最大公約数とは複数の整数の公約数の最大のもの、公約数とは複数の整数が共通に持つ約数、約数とは当該整数を割り切ることができ、且つ当該整数および１を除く整数です。そしてこの定義には出て来ませんが、対象とされる数字は正整数です。従って０も－７も対象外の整数ですから７と０、７と－７は公約数を考える対象にはなり得ません。

回答No.1

llamas

７÷７＝１、０÷７＝０
７÷７＝１、－７÷７＝－１
どれも７で割った数が整数になりますよね。