ｐ座標系の気圧傾度力

質問

通常の座標系における地衡風の式（ｘ方向の速さｕのみ記述します。）
ｕ＝－(1/f)(1/ρ）(∂p/∂y）・・・・・・(1)
これをｐ座標系における地衡風の式に変換したいと考えています。

参考にしている本によると
ｄｐ＝(∂p/∂y）ｄｙ＋(∂p/∂ｚ）ｄｚ
ｄｐ＝０（等圧面だから）
０＝(∂p/∂y）ｄｙ＋(∂p/∂ｚ）ｄｚ

これを整理して
(∂p/∂ｙ）＝－(∂p/∂ｚ）(∂ｚ/∂ｙ）
(∂p/∂ｚ）＝－ρｇより
(∂p/∂ｙ）＝ρｇ(∂ｚ/∂ｙ）

これを(1)に代入して
ｕ＝－(1/f)(1/ρ）ρｇ(∂ｚ/∂y）
ｕ＝－(ｇ/f)(∂ｚ/∂y）
以上の式は理解できます。

ここで質問なのですが、最初に本を見ないで計算したときは以下の計算をしました。
(∂p/∂ｚ）＝－ρｇから
∂p＝－ρｇ∂ｚ　として(1)に代入すると
ｕ＝(ｇ/f)(∂ｚ/∂y）となり符号（－）が付きません。

正しい式と符号が異なるので計算としておかしいとは思うのですが，静水圧平衡の式からいきなり(1)に代入してはいけない理由が分かりません。

私が最初に行った計算の誤っている点を詳しく説明していただけないでしょうか？

回答No.1

Ae610

∂p/∂ｚ = －ρｇ・・・(1)静水圧平衡の式
∂p/∂ｙ = －(∂p/∂ｚ)(∂ｚ/∂ｙ）・・・(2)

(1)を(2)に代入して
∂p/∂ｙ = -(-ρｇ)(∂ｚ/∂ｙ）= ρｇ(∂ｚ/∂ｙ）・・・(3)

これを下の式に代入すれば
ｕ = －(1/f)(1/ρ）(ρｇ)(∂ｚ/∂ｙ）= －(g/f)・(∂ｚ/∂ｙ)

・・・でちゃんと負号が付く・・!
単にケアレスミスと思う・・!

補足

お返事ありがとうございました。
私の書き方が悪かったのかもしれませんが，聞きたいことは次のようなことです。
盛衰圧平衡の式　(∂p/∂ｚ）＝－ρｇから
∂p＝－ρｇ∂ｚ　としてｕ＝－(1/f)(1/ρ）(∂p/∂y）に代入すると

ｕ＝(ｇ/f)(∂ｚ/∂y）となり符号（－）が付きません。

回答者様が示している（２）の式（全微分の定義から導出した式）を経由しなければならない理由がいまいち分かりません。これを解説していただけないでしょうか。