ミクロ経済学の線形効用関数について

質問

U=(x+y)^2
という効用関数の式が線形であるといえるのはなぜでしょうか？
基本的なことからご説明お願いします。

回答No.2

statecollege

なるほど、お礼率０パーセントの質問者か！

回答No.1

statecollege

効用関数というのは、たくさんある消費の組について消費者の選好の順序付けを示したもので、効用関数の値そのものには意味がないのです。これを、効用関数の序数的性質（あるいは序数的効用理論）と呼びます。別の言葉でいうと、無差別曲線（群）が同一なら、どういう効用関数を用いてもよい、ということです。いま、X財とY財の組を(x,y)であらわし、いま効用関数U＝（ｘ＋ｙ)^2という効用関数をもつ消費者を考えてください。この消費者にとって、消費の組(4,5)と(2,8)の選択に直面したとき、どちらを選択するだろうか？これらの組の効用がどちらが大きい値をとるか計算してみればよい。前者の組はU=（4+5)^2=81であるのに対し、後者の組はU=(2+8)^2=100、よって後者の組を消費したほうがのほうがより大きい効用をもたらすので、後者を選択する。では、いま、この効用関数の√をとって、V=√U＝x+yを効用関数として使ったらどうだろうか？その場合も、前者の組はV=4+5 = 9、後者の組はV=2+8=10で、やはり、後者のほうが効用の値はより大きく、後者を選択することになる。二つの効用関数の無差別曲線を、横軸にｘ（X財の消費量）、横軸にｙ（Y財の消費量）をとって表してみよう。すると、U=(x+y)^2の無差別曲線は

　　　U=(x+y)^2 ⇔ x+y =√U = V

であり、線形の効用関数であるV=x+yの無差別曲線と全く同一となることがわかる。つまり、無差別曲線群は傾きがー１で、ｙ切片がV（＝√U)の、互いに平行な直線群からなることがわかる。
このように、同一の選好を表わす効用関数は一意ではなく、その関数を正の単調変換したものも同じ選好をあらわすのです。問題の効用関数U=(x+y)^2も、線形の効用関数V=x+yの正の単調変換したものなので、線形の効用関数と呼ばれるのです。