微分・積分について

質問

シュレディンガー方程式などで、使われる微分ですが、
l　i　m　ｆ（Ｘ1＋△Ｘ）－f(Ｘ1）
△ｘ→０　　　　　　　　　　　　/△Ｘ
という風に、表したり、
ｄｙ/ｄｘ　という風に、表したりしますが、
いったい、微分とは、何をしているのでしょうか？
また、その反対の積分は
∫式ｄｘと表しますが、これは、
何を意味しているのでしょうか？
高校数学を勉強していて、常に
分からない概念です。
簡単に説明出来ない事は承知していますが、
そこを何とか具体化して、分かるヒントでも
頂ければ、うれしいです。

回答No.2

sanori

こんばんは。
色々例を書いてみますので、ご参考に。
何度かながめていれば、何となく意味がわかってくると思いますよ。

１．距離、速度、加速度

高さｈのところから、物体を下向きにｖ0の速さで投げる。
重力加速度をｇと置く。
時刻をｔ、物体の位置をｘ、物体の速度をｖと置く。
空気抵抗は無視する。

速度ｖは、加速度を時刻ｔで積分したものであるから、
ｖ　＝　∫ｇｄｔ　＝　ｇｔ＋積分定数
ｔ＝０　のとき　ｖ＝ｖ0　なので、
ｖ　＝　ｇｔ　＋　ｖ0

位置（距離）ｘは、速度を時刻ｔで積分したものであるから、
ｘ　＝　∫ｖｄｔ　＝　∫ｇｔｄｔ　＋　∫ｖ0ｄｔ
　＝　ｇｔ^2／２　＋　ｖ0ｔ　＋　積分定数
ｔ＝０　のとき、ｘ＝ｈ　なので、
ｘ　＝　ｇｔ^2／２　＋　ｖ0ｔ　＋　ｈ

（たぶん、物理の教科書に、距離はグラフの台形の面積と同じだから
　１／２・ａｔ^2　＋　初速度・ｔ　という式が載っていると思います。
　それと同じ式です。スタート地点が０でなくｈになっているだけ。）

さて、
ここで、上記を全部忘れて、
物体の位置が　ｘ　＝　ｇｔ^2／２　＋　ｖ0ｔ　＋　ｈ　と表される運動の速度と加速度を求めてみる。

速度ｖは、位置ｘを時刻ｔで微分したものであるから、
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ｇｔ　＋　ｖ0

加速度は、速度ｖを時刻ｔで微分したものであるから、
ｄｖ／ｄｔ　＝　ｇ
つまり、物体の運動は、加速度がｇの等加速度運動（＝自由落下）であることがわかった。

２．三角形の面積

三角形の面積を、わざわざ積分で求めてみます。
（これには意味があります。後述でわかります。）

底辺がａ、高さがｂの三角形がある。
この三角形を、横長の細い短冊の集合体と考える。
短冊の長さをＬ、太さをＤと置く。
頂点から底辺に、垂直に向かう道のりをｘと置く。
短冊の長さＬは、頂点から底辺に向かうにしたがって、長くなる。
すなわち、Ｌは、ｘに比例し、頂点（ｘ＝０）ではＬ＝０、底辺部（ｘ＝ｂ）ではＬ＝ａとなる。
つまり、Ｌ＝ａｘ／ｂ
繰り返しになるが、三角形は、横長の細い短冊の集合体。
１本の短冊は、太さＤ、長さａｘ／ｂ
太さＤを無限に小さくしてｄｘとすることにより、短冊の数を無限に多くすれば、三角形の正確な面積になる。
１つの短冊の面積は、
長さ×太さ　＝　ａｘ／ｂ　×　ｄｘ

これを全部足せば（積分すれば）三角形の面積。

三角形の面積　＝　∫Ｌ・ｄｘ　＝　∫ａｘ／ｂ・ｄｘ
　＝　ａ／ｂ・∫ｘｄｘ
　＝　ａ／ｂ・ｘ^2／２　＋　積分定数
積分の区間は、ｘ＝０→ｂ　なので、
三角形の面積　＝　ａ／ｂ・ｂ^2／２　－　０
　＝　ａｂ／２
　＝　底辺×高さ÷２

３．円の面積
半径ｒの円がある。
これを、円形の針金の集合体と考える。
（中心近くでは小さな円の針金、円周近くでは大きな円の針金）
中心からの距離をｘと置く。
１つの円の針金の長さは　２πｘ　である。
針金の太さをｄｘ　と置くと、針金の面積（上から見た面積）は、２πｘ・ｄｘ
よって、
円の面積　＝　全ての針金の面積の合計　＝　∫２πｘ・ｄｘ
　＝　２π∫ｘ・ｄｘ　＝　２π・ｘ^2／２　＋　積分定数
　＝　π・ｘ^2　＋　積分定数
区間は、ｘ＝０→ｒ　なので、
円の面積　＝　π・ｒ^2　－　０　＝　πｒ^2

４．球の体積
球の表面積は、４π×半径^2 である。
よって、球は、厚さｄｘ、表面積４πｘ^2 の薄皮の球（中が空っぽのボール）の集合体。
（ｘが０からｒに向かうにしたがって、大きなボールとなる。それらを全部足す。）

球の体積　＝　∫４πｘ^2・ｄｘ　＝　４π∫ｘ^2・ｄｘ
　＝　４π・ｘ^3／３　＋　積分定数

区間はｘ＝０→ｒ　なので、
球の体積　＝　４π・ｒ^3／３　－　０
　＝　４／３・πｒ^3
この公式、見たことありますよね。

５．製品の寿命、放射能

１個１個の物体の故障や崩壊が、ある確率をもって偶然によって起こる場合、
物体の個数をＮ、１年当たりに壊れる確率をλと置けば、
－ｄＮ／ｄｔ　＝　λＮ
と表せる。

－ｄＮ／ｄｔ　は、１年当たりに壊れる数を表す。
λＮ　は、左辺（壊れる数）が、Ｎにもλにも比例することを表す。
－ｄＮ／ｄｔ　＝　λＮ　を変形すると、
１／Ｎ・ｄＮ　＝　－λｄｔ
∫１／Ｎ・ｄＮ　＝　－λ∫１・ｄｔ
積分を実行すれば、
logＮ　＝　－λｔ　＋　積分定数
Ｎ　＝　定数・ｅ^(－λｔ)
初期のＮの個数をＮ0 と置けば、
Ｎ　＝　Ｎ0・ｅ^(－λｔ)

この解の一例として、たとえば、ｙ＝ｅ^(－ｔ)　をグラフに描いてみると、
ものが壊れて、個数がだんだん減っていく様子がわかります。

上記を読んでいるうち、なんとなくわかってくると思いますが、

・ｄｘ　というのは、微小な（無限近くに小さくした）ｘのこと。

・ｄｙ／ｄｘ　というのは、ｘの変化量に対するｙの変化量の比が一定でないとき、ある瞬間の変化量の比を表している。

・∫なんちゃらｄｘ　は、微小なもの（なんちゃらｄｘ）を全部足し算したもの。

それから、
・Δｙ／Δｘ　＝　lim[ {f(x+Δx) - f(x)} / Δx ]、
　あるいは、ｄｙ／ｄｘ　というのは、
　瞬間の変化量の比を求めるのに際し、
　瞬間だからといってΔｙ、Δｘ、ｄｙ、ｄｘ　をゼロにしてしまっては、
　変化量の比は　０÷０　になってしまい、その先に進めなくなるので、
　それを解決する方法の概念に使われているものです。

長々と書いてしまいましたが、以上、ご参考に。

ちなみに、
微分積分というのは、数学の中では、四則演算の次に役立つものだと思いますので、頑張って習得してくださいね。

お礼

有難うございました。
参考にさせて頂きます。

回答No.1

HANANOKEIJ

積分の源は、ギリシャ時代のアルキメデスの求積法です。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch01/node54.html
微分とは、変化の割合の分母にくる時間を小さくしていって、ある時刻の瞬間の変化の割合を求めること。変化の割合：一次関数の傾き、距離、速さ(速度)、時間でいうと、速さ。
この歴史的に別々に研究されてきた、図形の面積、体積を求める求積法と瞬間の変化の割合を求める微分法が、関数とX軸で囲まれた面積を求める積分法と、その関数の接線を求める微分法という、お互いに逆演算になっているという、微分積分の基本定理という大発見で結び付けられたこと。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch01/node55.html
ベレ出版「微分・積分の意味がわかる」
http://www.beret.co.jp/books/detail/?book_id=124
岩波書店「解析概論」p.86～p.101

お礼

これらの本を
参考にさせて頂きます。