常微分方程式の問題です

質問

二階の常微分方程式の問題です。

P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y =0について

P(x) + Q(x) + R(x)=0　のとき
解はy=exp(x)となる事を示せという問題です

必要条件は代入すればよいので簡単ですが
問題は十分条件です。この場合、各yの係数は定数で
無いので、特性方程式はつかえず、
（P,Q,Rを定数とすれば確かにy=exp(x)にはなりますが）

またべき級数でとこうとしても、変数が３つとなりとけず、
y=exp(x)という結論を導けません

どうかよろしくお願いします。

回答No.6

guuman · ベストアンサー

ｙ2(x)=y1(x)・∫{1/(y(x))^2}exp(-∫P2(x))dx

となることを示せというのはありました。
ですが問題はあくまで最初に書いたものなのです

ちなみにさらにその後に
xy'' + (1-2x)y' +(x-1)y =0
の解を求めよというのがあり、おそらく上の二つの問題を
利用してとくものだと思うのですが・・・
：

問題の記述の仕方が間違っているのです
そのままの文章を出すと著作権に引っかかるので
かってに解釈して原文を損ねないように
ほぼそのままの問題文を再提出することをお勧めします

P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y =0について
P(x) + Q(x) + R(x)=0　のとき
解はy=exp(x)となる事を示せ

はおかしいのです
y=exp(x)以外の解がいっぱいあるのだから
y=exp(x)となるとは限らないので
「示す」ことはできないのです
「示す」ことができた人はめでたい人です

お礼

当方でも作成者に尋ねてみたところ
y=exp(x)が解と「いえる」事を示せという意図であり、
代入しろと言われました。

いろいろ丁寧に対応してくださりありがとうございました。

回答No.5

guuman

ケアレスミス

質問が間違っているので正しい質問の例を示すと

P(x)+Q(x)+R(x)=0
のとき
P(x)・y"+Q(x)・y'+R(x)・y=0
の一般解を
y=exp(x)が
P(x)・y"+Q(x)・y'+R(x)・y=0
の1つの解であることを利用して解け

一般解は

ｙ=C2・e^x・∫[0,x]dt・(e^(-∫[0,t]ds・(Q(s)/p(s)+2)))+C1・e^x

<--ここです（・e^xの書き漏らし）

です

２階線形微分方程式は非斉次であれ斉次であれ１つの解が求まれば非斉次及び斉次の一般解が求まるのです

ただし１つの非斉時または政治の解を求めることができないと大変難しいのです

回答No.4

guuman

P(x) + Q(x) + R(x)=0　のとき
P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y =0の
解はy=exp(x)となる

は間違いです
P(x)=1,Q(x)=-3,R(x)=2
のとき
y=exp(2・x)も解になります

質問が間違っているので正しい質問の例を示すと

P(x)+Q(x)+R(x)=0
のとき
P(x)・y"+Q(x)・y'+R(x)・y=0
の一般解を
y=exp(x)が
P(x)・y"+Q(x)・y'+R(x)・y=0
の1つの解であることを利用して解け

です
問題を出した人が間違ったのかあなたが問題を書き写し間違えたかの何れかです

一般解は簡単にもとまり

ｙ=C2・∫[0,x]dt・(e^(-∫[0,t]ds・(Q(s)/p(s)+2)))+C1・e^x

です

２階線形微分方程式は非斉次であれ斉次であれ１つの解が求まれば非斉次及び斉次の一般解が求まるのです

ただし１つの非斉時または政治の解を求めることができないと大変難しいのです

補足

問題を確認しましたが後半部でguumanさんがおっしゃっている問題に近いものがあり、
y'' + P2(x)y' +Q2(x)y =0について一つの解を
y1(x)とするともう片方の独立な解y2(x)は

ｙ2(x)=y1(x)・∫{1/(y(x))^2}exp(-∫P2(x))dx

となることを示せというのはありました。
ですが問題はあくまで最初に書いたものなのです

ちなみにさらにその後に
xy'' + (1-2x)y' +(x-1)y =0
の解を求めよというのがあり、おそらく上の二つの問題を
利用してとくものだと思うのですが・・・

回答No.3

shkwta

２回微分可能なxの任意の関数f(x)について、

P(x) = f'(x)
Q(x) = -f''(x) -2f'(x) - {f'(x)}^2
R(x) = f''(x) + f'(x) + {f'(x)}^2

y = exp(x + f(x))

とおくと、

P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y =0
P(x) + Q(x) + R(x)=0

を満たすようなのですが、どうなのでしょう。これでは、事実上、yは何だっていいということになってしまいます。

回答No.2

shkwta

まだ詳しく検算していないのですが、

y=exp(x^2 + x)
P(x)=x
Q(x)=-2x^2 - 2x - 1
R(x)=2x^2 + x + 1

とすると、

P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y =0
P(x) + Q(x) + R(x)=0

を満たすようです。

回答No.1

guuman

p(x)=0の場合は簡単すぎてつまらないのでパス
P(x)≠0の場合2階線形微分方程式だから
独立な2つの解y1(x),y2(x)存在しC1,C2を任意定数として
C1・y1(x)＋C2・y2(x)となります
従ってe^x以外に独立な解がある
つまり十分だが必要ではない

なお１つの解が求まっているのでもう１つの独立な解は求まります
２階線形微分方程式は１つの斉次解が求まれば非斉次（だから斉次も）の一般解は求まるのです