大学数学です

質問

∫(1-x)/(1+x^2)dxの計算方法がわかりません。教えてください。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

I=∫(1-x)/(1+x^2)dx

＝∫1/(1+x^2)dx-∫x/(1+x^2)dx

∫1/(1+x^2)dx=arctanx (1)
証明
x=tanθとおくと
dx/dt=d(sinθ/cosθ)=1/cos^2θ
1/(1+x^2)=cos^2θ
ゆえに
∫1/(1+x^2)dx＝∫dθ=θ=arctanx

∫x/(1+x^2)dx=(1/2)log(1+x^2) (2)
証明
t=x^2とおくと
dt=2xdx
∫x/(1+x^2)dx＝∫xdx/(1+x^2)=(1/2)∫dt/(1+t)=(1/2)log(1+t)=(1/2)log(1+x^2)

(1)(2)を用いて
I=∫(1-x)/(1+x^2)dx=arctanx+(1/2)log(1+x^2)+C

お礼

ありがとうございます！理解できました。

回答No.2

info222_

I=∫(1-x)/(1+x^2)dx
=∫ {1/(1+x^2)+x/(1+x^2)} dx
=∫ 1/(1+x^2)dx - ∫ x/(1+x^2)dx
=I1 + I2
とおくと

I1=∫ 1/(1+x^2) dx
x=tant とおくと　dx=dt/cos^2(t) , 1/(1+x^2)=1/(1+tan^2(t))=cos^2(t) であるから
I1=∫ cos^2(t) dt/cos^2(t)=∫ 1 dt =t+C1=arctan(x)+C1

I2=∫ x/(1+x^2)dx=∫ (1/2)(x^2)' /(1+x^2)dx=(1/2)log(1+x^2)+C2

C=C1-C2として
I=I1-I2=arctan(x)-(1/2)log(1+x^2) +C (Cは任意定数)　... (答)