a^xの導関数

質問

みなさんこんにちは。
考えてもわからずただ時間だけが過ぎていきます。
自分の持っている参考書でも書いていないんです。
参考書がいけないのでしょうか

わからない部分はこちらになります。

(a^x)'=(loga)a^xの証明で

a^x=e^xlogaより　 （1）
(a^x)'=(loga)e^xloga (2)
=(loga)a^x (3)

まず（1）の等式から理解できません。
a^y=x
y=logax
a^logax=x
というのは前回の質問で理解できたんですが
(1)はどうしてなんでしょう？

また（2）もわかりません。
これは何がなんやらという感じです。

困っているのでできるだけ早くご回答いただければ
幸いです。

また、この分野が丁寧にわかりやすく書いてある
URLをご存知の方いらっしゃいましたら
教えていただけますでしょうか？

できることなら質問せずに自分で読んで解決
できればそれが一番ですから。

サイトは英語でも日本語でもどちらでもかまいません。

回答No.3

elttac · ベストアンサー

No. 1 の回答をおつけした者です。

　　e^2 ＝ e^(log(e^2)) ＝ e^(2・log e) ＝ e^2
を確認しましょう。まず，
　　a ＝ e^(log a)
はよろしいと思います。両辺の対数をとれば，
　　log a ＝ log(e^(log a)) ＝ log a・log e ＝ log a
です。重要な性質として，
　　log(a^x) ＝ x・log a
これはよろしいでしょうか。また，
　　log e ＝ 1
もよろしいでしょうか。
　そこで，a ＝ e^(log a) に a ＝ e^2 を代入すれば，
　　e^2 ＝ e^(log(e^2))
となります。単に代入しているだけです。この右辺の計算を続けると，
　　e^(log(e^2)) ＝ e^(2・log e) ＝ e^2
で，左辺と右辺が等しいことが示されます。

お礼

ありがとうございました。
大変丁寧にご回答いただきまして
なんとお礼を述べたらいいのやら。
これからも数学の勉強を頑張って続けて
いきたいとおもいます。

回答No.4

akn1aj

＞…a^x=e^(xloga)より （1）
（1）の両辺で底eの対数：logを取ってみましょう。xloga = xloga…(1)’で成立しているでしょう？…よろしいですか。そもそも、y = a^x …(3) とおけば、両辺の底をeとする対数をとって、(3)⇔logy = xloga …(4)です。(4)の左辺で底はeなので、(4)⇔y = e^(xloga) …(5) です。(3),(5)よりa^x = e^(xloga)…(1)です。

＞…(a^x)'=(loga)e^xloga (2) = (loga)a^x (3)
まず、(e^x)' = e^x…(1)はいいですね。だから、a^x を底をeにするのです。
(a^x)' = {e^(xloga)}' …(2)’。あとは合成関数の微分、わからなけらばu = xloga … (6)とでもおいて下さい。 {e^(xloga)}' =( e^u)' = u'・e^u = loga・e^(xloga) = (loga)a^x … (3) となります。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
ノートに取りながら考えてみます。

回答No.2

airwave

もう分かっているかもしれませんが、こんな解き方もあります。

f(x) = a^x とおく。両辺自然対数をとって
log f(x) = x loga
ここで両辺を微分する。
f'(x)/f(x) = loga
f'(x) = (loga) f(x)
f'(x) = (loga) a^x

お礼

いや、よくわかっていませんでした（汗。
色々と考え方があるんですね。勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.1

elttac

指数・対数には，次のような性質があります。対数の底は，自然対数の底 e とします。
　　a ＝ e^(log a)
これは，a ＝ e^2 などとおいてみれば，
　　e^2 ＝ e^(log (e^2)) ＝ e^(2・log e) ＝ e^2
と確認できます。

　さて，ご質問の (1) ですが，上記より，
　　a^x ＝ (e^(log a))^x ＝ e^(x・log a)
となるはずです。ここで，
　　(a^m)^n ＝ a^(mn)
の性質を使いました。(2) は合成関数の微分です。e^x の x が x・log a になっていますから，
　　log a・e^(x・log a)
となります。最後に，e^(x・log a) ＝ a^x でしたから，(3) の
　　d/dx・(a^x) ＝ log a・a^x
が得られます。

補足

迅速なご回答感謝いたします。
申し上げにくいのですが、
私にとってはわからない点がございます。

e^2 ＝ e^(log (e^2))
これがわかりません。
もう少し詳しく教えていただけますでしょうか？

(2)の合成関数の部分はわかりました。
ありがとうございました。