e^xのｎ回微分の証明

質問

e^xのｎ回微分がe^xになることを証明したいのですが
どのようにすればいいのか分かりません。

(e^x)'=e^x
となるのは分かるのですが…

(e^x)'=e^xを証明すれば良いのでしょうか？
その時、(e^x)'=e^xを証明するときは
対数微分法を用いてy=a^xの微分がa^x(loga)
になることを証明して、aにeを代入する方法で良いのでしょうか？

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

Ichitsubo · ベストアンサー

e^xの１階微分がe^x
e^xのk階微分がe^xのとき、k+1階微分がe^xであることを証明するには、k階微分を 'kと表すと
(e^x)'(k+1) ＝ d/dx (e^x)'k
　　　　　　＝ d/dx e^x
　　　　　　＝ e^x
よって「e^xのk階微分がe^xのとき、k+1階微分がe^xであること」が証明されました。
k=1の時成り立ちますので自然数nについて
e^xのn階微分がe^xであることが成り立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。このような方法もあるのですね。
この方法でもやってみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

KENZOU

＞(e^x)'=e^xを証明すれば良いのでしょうか？
その時、(e^x)'=e^xを証明するときは
対数微分法を用いてy=a^xの微分がa^x(loga)
になることを証明して、aにeを代入する方法で良いのでしょうか？
それでいいと思います。ただ次のようなやりかたもありますね。
　ｙ＝e^x　
両辺対数をとって　
　lny＝ｘ
yで微分すると
　1/y＝dx/dy=1/(dy/dx)
これから
　dy/dx＝y＝e^x

お礼

回答ありがとうございます。
こんなやり方もあるんですね…
とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

arukamun

補足ですが、
No.1の方は数学的帰納法で証明しています。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。