対数関数の問題です

質問

関数f(x)=loga (2x-1),g(x)=loga (5-x)がある。ただしaは1でない正の定数とする。
(1)y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標を求めよ。
またa>1のとき f(x)>g(x)となるxの値の範囲を求めよ。
(2)0<a<1とする。h(x)=f(x)+g(x)とおくとき h(x)の最小値を、loga 2,loga 3を用いて表せ

この2題が分かりません；
教えてください、よろしくお願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

(1)
f(x)=g(x)より、底が等しいので　2x-1=5-x→∴x=2

真数条件より、2x-1＞0からx＞1/2、5-x＞0からx＜5
なので、まず 1/2＜x＜5　の条件がつきます。
底が１より大きいので、f(x)＞g(x)だから2x-1＞5-xを解いてx＞2
よって、2＜x＜5　が解になります。

(2)
h(x)=loga(2x-1)+loga(5-x)=loga(2x-1)(5-x)=loga(-2x^2+11x-5)
ここで、1/2＜x＜5の間で　-2x^2+11x-5の最大、最小を考えると
-2(x-11/4)^2+81/8　だから、最大値は81/8、最小値はなし。
0＜a＜1なので、真数の最大値がh(x)の最小値になるから、
h(x)の最小値は　x=11/4のとき
loga(81/8)=loga81-loga8
　　　　　=loga(3^4)-loga(2^3)
　　　　　=4loga3-3loga2
となります。

お礼

ありがとうございました!
(1)は自力で解けましたが(2)が分からなかったので、丁寧に教えてくださってよかったです。
log苦手なので、復習したいと思います；
本当にありがとうございました!

回答No.1

sanori

こんばんは。

（１）
交点の座標を（ｘ1，ｙ1）と置くと、
loga（２ｘ1 － １）＝loga（５ － ｘ1）
２ｘ1 － １　＝　５ － ｘ1
３ｘ1　＝　６
ｘ1　＝　２　←ｘ座標
ｙ1　＝　loga（２×２　－　１）　＝　loga３　←ｙ座標
（あるいは　ｙ1　＝　loga（５　－　２）　＝　loga３）
交点の座標は、（２，loga３）

ａ＞１　なので、そのまま
２ｘ－１　＞　５－ｘ
が成り立ちます。
つまり、上にあったｘ1の値を持ってくればよいので、
ｘ＞２
です。

（２）
ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）　＝　loga（２ｘ－１）＋loga（５－ｘ）
　＝　loga｛（２ｘ－１）（５－ｘ）｝
　＝　loga（１０ｘ　－　２ｘ^2　－　５　＋　ｘ）
　＝　loga（－２ｘ^2　＋　１１ｘ　－　５）

今度はａが１より小さいので、大小関係が逆になります。
－２ｘ^2　＋　１１ｘ　－　５　は、上に凸の放物線です。
ａ＜１　ですから、放物線が最大のとき、logが最小になります。
微分するのが近道ですね。
（－２ｘ^2　＋　１１ｘ　－　５）’
　＝　－４ｘ　＋　１１　＝　０　のとき
ｘ　＝　１１／４
ｙ（最小値）　＝　loga（－２×（１１／４）^2　＋　１１×１１／４　－　５）
　＝　loga（８１／８）
　＝　loga８１　－　loga８
　＝　loga３^4　－　loga２^3
　＝　４loga３　－　３loga２

以上、ご参考に。

いかにもセンター試験に出そうな問題ですので、マスターしましょう。