不等式 X2+Y2－4X－6Y+13≧0を証明せよ。また、等号がなり

質問

不等式 X2+Y2－4X－6Y+13≧0を証明せよ。また、等号がなりたつはどのようなときか

とゆう問題なんですが、説明など読んでも全く理解できません、どう解けばいいのでしょうか

回答No.2

toriton_blue · ベストアンサー

まず、不等式を証明する前に不等式の性質について
実数aがあるとして
a^2≧0
という法則です
言っている事は実数のどんな数でも2乗すれば0以上という意味ですが、当たり前ですね（笑）

不等式の証明はこの法則を基本にして証明していくことが多いと思います

では戻ってx^2+y^2－4x－6y+13≧0の証明ですが、この式を変形します
13＝4＋9ですよね？
なので上の式は
x^2-4x+4+y^2-6x+9≧0
と変形できます。これは
(x-2)^2+(y-3)^2≧0
と変形できます

ここまでくれば後は簡単な話
実数の中のどんな数でも2乗すると0以上なので
(x-2)^2≧0
(y-3)^2≧0
0以上の数と0以上の数の和はどんな値でも0以上になるので不等式
X2+Y2－4X－6Y+13≧0
は実数の中のどんな数でも成り立ちます

等号が成り立つ場合は(x-2)^2と(y-3)^2のどちらも0である必要があるので
x=2,y=3のとき等号が成り立ちます

お礼

ありがとうございます

a^2≧0 b^2≧0を活用すればいいんですね

とても分かりやすかったですありがとうございました

回答No.1

alwen25

（左辺）＝(x+a)^2+(y+b)^2+c (c≧0)
と変形すればいいのです。