数学【空間の曲線】の問題がわかりません

質問

パラメーター表示ｘ(t)＝（e^t　t　t）-実際は縦３行に表示、e^tはeのｔ乗のこと-　で表される曲線の曲率ｋ(t)のグラフで正しいものを選びなさい。
(1)lim t→ ー∞ ｋ(t)=∞かつlim t→∞ ｋ(t)=∞で、t=0で最小値０をとる。
(2)lim t→ ー∞ ｋ(t)=∞かつlim t→∞ ｋ(t)=∞で、t=0で正の最小値をとる。
(3)lim t→ ー∞ ｋ(t)=∞かつlim t→∞ ｋ(t)=０で、単調減少である。
(4)lim t→ ー∞ ｋ(t)=０かつlim t→∞ ｋ(t)=∞で、単調増大である。
(5)lim t→ ー∞ ｋ(t)=０かつlim t→∞ ｋ(t)=０で、t=0で最大値をとる。

解き方がわかりません。解答よろしくお願いいたします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞(x(t),y(t),z(t))でパラメータ表示された曲線の曲率k(t)は、
x,y,zのtによる微分をそれぞれx',y',z'、同じく二階微分を
x",y",z"とすると、
k(t)={1/(x'^2+y'^2+z'^2)^2}
*√[{x"(y'^2+z'^2)-x'(y'y"+z'z")}^2
+{y"(x'^2+z'^2)-y'(x'x"+z'z")}^2
+{z"(x'^2+y'^2)-z'(x'x"+y'y")}^2]
で表されるので、これに
x'=x"=e^t、y'=z'=1、y"=z"=0を代入すると、
k(t)={1/(e^t^2+1+1)^2}*√[{e^t(1+1)}^2+{-(e^te^t)}^2+{-(e^te^t)}^2]
=e^t√[2{2+e^(2t)}]/{2+e^(2t)}^2=√2e^t√{2+e^(2t)}/{2+e^(2t)}^2
=√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)となるので、
lim[t→-∞]e^t=0だからlim[t→-∞]k(t)
=lim[t→-∞]√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)=0/{2+0}^(3/2)=0
また、lim[t→∞]e^t=∞で
k(t)=√2e^t/{2+e^(2t)}^(3/2)={√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}]
だから
lim[t→∞]k(t)=lim[t→∞]{√2/e^(2t)}/[{2/e^(2t)+1}√{2/e^(2t)+1}]
=0/1=0
以上からlim[t→±∞]k(t)=0が分かったので答えを探すと(5)になる。
なお、参考までに
k'=[√2e^t{2+e^(2t)}^(3/2)-√2e^t(3/2){2+e^(2t)}^(1/2)e^(2t)2]/{2+e^(2t)}^3
=2√2e^t{2+e^(2t)}{1-e^(2t)}/{2+e^(2t)}^(7/2)
k'=0を解くと、1-e^(2t)=0からt=0、k(0)=√6/9
だから,k(t)はt=0で極大値√6/9をとる。

お礼

詳細な解答ありがとうございました。大変助かりました。難しそうですが、理解できるまでがんばって復習します。

回答No.1

uyama33

ｔに、０，１，２，３．。。
-１、-２，３-３

と値を代入して座標を調べる。

それを３次元空間に描いてみる。
必要なら電卓も使う。
外形なら、e＝３で計算して少し小さくする。

お礼

回答ありがとうございました。お答えいただいた通りにもう一度やってみます。