曲線のパラメータ付けの問題

質問

γ：［a,b］→Ｒ^2を閉曲線Γのパラメータ付けとするとき

任意の曲線Γが弧長によりパラメータ付けされる事をどのように証明すればよいのかが分かりません。

あるηを任意のパラメータ付けとして、h(s)=∫｜η'(t)｜dtとおき、
γ=η（h^(-1)）を考えてみようかと考えてみたのですが良く分かりませんでした。

この証明のお分かりになる方の解答をお待ちしております。

回答No.1

noname#43759

微分幾何を独学で勉強中の者です。
厳密な回答ではありませんが、参考になれば幸いです。

以下、曲線はなめらかと考える。
曲線Γを通常の媒介変数表示でΓ＝η(t)と表す。
弧長は
L(t)＝∫(a→t) | η'(u) | du
と表せる。
dL/dt= | η'(u) | > 0
であるから、L(t)は単調増加。
よって、逆関数が存在してtはLの関数で表せる。t＝f(L)とすると、
曲線はΓ＝η(t)＝η(f(L))
となり、Lをパラメータとすることができる。