sinωΔt/2のΔｔ→０のときの極限

質問

sinωΔt/2のΔｔ→０のときの極限

ある物理の参考書にこの極限はωΔt/2とあるのですが、
どうしてそうなるのかわかりやすく説明できる人はいませんか。

数学IIIの極限までは基本的なことはやったのですが。

宜しくお願いします。

回答No.3

uyama33

高校生ならば、

xが小さいときには
sin(x)/x がほとんど１に等しい
（ｘ→0　のときの極限値は１）

を使って、
Δt が0　に近いならば
sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) が　ほとんど１

これを、
sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) ＝　１
と書きましょう。（ほぼ等しいの記号が出ない）

分母を払って
sin(ωΔt/2)＝　(ωΔt/2)　（この等号はほ、ぼ等しいの意味）

と考えれば良いと思います。

補足

社会人で勉強しているものです。

思いつかなかったのですがたしかに上記のようになります。

Δｔ→０は０に限りなく近づくけれど決して０にはなりませんから分母は０でなく、ちゃんと定義できる値ということになると考えることができます。（たぶん、くわしくないので確信は持てませんが。）

回答No.2

sanzero

極限ではなくΔt≒0での近似ではないですか？
本当に極限をとってしまうと0になりますので。

xが十分小さいときsinx ≈ xです。
y = sinxのx = 0における接線を考えるとy = xとなり、
接点の周りではほぼ等しいという考えから近似が行えます。

物理では非常に小さい値を考えるとき、
その二乗以上の項は無視して考えることがよくあります。

例えば
xが十分小さい時 (1 + x)^α ≈ 1 + αxと近似したりします。
(1 + x)^αを二項展開して二次以上の項を無視すると下記のようになります。
(1 + x)^α = 1 + αC1・x + αC2・x^2　… + αCα・x^α + … ≈ 1 + αx

マクローリン展開（テイラー展開）で調べるのもよいとおもいます。
また、e^x, sinx, cosxのマクローリン展開を形だけでも知っておくと有利かと思います。

補足

今からそのマクローリン展開をちょっと勉強してみます。

ちなみにその物理の参考書は理解しやすいシリーズです。

交流と電磁波のところで誘導起電力ｖ＝ＢＳωsinωｔを導き出すときの途中の説明です。

回答No.1

phosphole

まず、こちらのwebsiteをご一読されてはどうでしょうか。
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin2.htm

三角関数は、マクローリン展開（テイラー展開）という方法で、xの何乗の和（多項式）で表すことができます。
さて、ここで質問者さんはx（= omega*deltat/2としてます）が０に近い、非常に小さい数の場合のことを問題にされてます。
ちょっと筆算すればわかりますが、０に非常に近い数（たとえば0.01でも良いです）の場合、ｘに比べ、ｘの二乗、三乗、（以下略）はオーダーが圧倒的に小さくなるので、”無視できる”ことになります。ほんまかいな？とお思いでしょうから、具体的にマクローリン展開の式にx = 0.01くらいを入れて計算してみると、ほとんど第一項（ｘの一次の項）だけで値が決まることがわかると思います。

なお、この理屈は三角関数の場合に限りません。
テイラー（マクローリン）展開してみる＞xが小さければ、xの一次の項以外は非常に小さいから無視しても良かろう・・・というのは、他の素性が良い関数の場合にもよく出てくる理屈です。
なにかの加減で一次の項が消える、あるいは物理的な意味が無いのなら、次の二次の項を考えましょう。

補足

まず上記のサイトの内容を勉強します。

少し理解するのに時間がかかるかもしれません。

とにかくやってみます。