近似式と極限のちがい。

質問

物理なんかではよく近似式が出てくることが多いように思います。

なぜか微分積分の知識が活用されていない。

ところで、初歩的ですが、

近似式と極限が違うことに最近気づきました。

極限とかは参考書にあるのですが、

近似式はよくわかりません。

なんかむずかしいというイメージをもっています。

物理の参考書にかいてあることがけっこう難解なせいでしょうか。

違いも含めてやさしく説明できる人はいますか。

ちなみに、みたこともないような特殊な記号や公式には弱いです。

けっこう難しい質問だと思いますが宜しくお願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

近似式をどう定義するかです。たぶん何種類もあって目的に応じて使い分けられているのでしょう。加減乗除しかできないコンピューターがsinxを計算する場合多項式表示した近似式（f(x)と書くことにします。）が用いられていますがとにかく数値が所定の誤差範囲に入るように作られています。
　同じ多項式でも絶対収束するようなsinxに対してはテーラー展開による式（ｇ(x)）を用いることもできます。その場合は項数を多くとればとるだけ精度が上がり正解に近づきます。無限項までやれば正解に一致するわけですがそれは無理というもの、よって誤差の許す範囲で項数を決定しています。f(x)は特定の点を除いて正解に一致することはありません。しかし所定の誤差範囲ではg(x)より計算量はずっと少なくて済むようになっています。
　極限値との関係としては項数をnとすると
　　　　lim(n⇒∞)f(x)=F(x) : F(x)は正解
です。ｘ⇒∞における値の近似値を与えるのが漸近展開です。漸近展開は1/xによるテーラー展開に基づいているといえるでしょう。テーラー展開と漸近展開をどこで使い分けるかということはあまり記述がないようですが、やってみると非常に面白いです。
　同じテーラー展開でもsinxとlogxでは非常に挙動が違います。sinxはあきれるほど収束がよい。しかしlogxは項数をいくら増やしてもゆっくりしか改善されないという収束の悪さが目立ちます。
　物理で使う
　　　(1+x)^α≒(1+αx)
はテーラー展開でxの１次の項まで取ったもので、xが小さい場合は２次以上の項の効果は無視できるほど小さくて、1+αxという１次の項で近似しても誤差は小さいということです。
　積分は曲線の下の面積を求める場合、短冊に切ってそれらを足し合わせることによって求めています。短冊の上の部分はx軸に並行で曲線の下の面積Sより小さいのが普通ですが短冊による分割を細かくした極限ではSに近づくということになります。このような積分の数値計算はいろんな改良がくわえられ、分割を細かくしないでも精度の上がるアルゴリズムがいろいろ開発されています。

お礼

＞物理で使う
　　　(1+x)^α≒(1+αx)
はテーラー展開でxの１次の項まで取ったもので、xが小さい場合は２次以上の項の効果は無視できるほど小さくて、1+αxという１次の項で近似しても誤差は小さいということです。＜

実際上の式で困っていたのです。みなさんこんなのをどこで学ばれたのでしょうか。これだけでも開眼です。

＞加減乗除しかできないコンピューターがsinxを計算する場合多項式表示した近似式（f(x)と書くことにします。）が用いられていますが＜

言われて初めて気づいたのですが、考えてみれば、

コンピュータが人間の脳と違うことは知られていることです。だから、いろいろ計算方法を編み出しているのかと納得しました。

回答No.3

foomufoomu

近似式
普通、実用式のことです。
たとえば、なにかを作る時、必要な材料の太さを30ケタ精度で求めてもあまり意味がなく、3ケタ精度ならずっと簡単な計算で済むなら、だれでも3ケタ精度の式をつかうでしょう。これが近似式です。ほんとなら５次方程式になるところを、２次でごまかしている、みたいな式です。

極限式
そのものずばりの式ではないが、限りなく正解に近くすることが可能な式です。

お礼

実用式。なるほど納得です。

回答No.2

Mathmi

詳細はNo1の方が答えて下さっているので、簡単に言えば

・近似式
変数がある値の時に、答えがどの範囲の中に存在するか、という事を求める式。
物理学では有効数字がありますし、数学でも円周率などを3.14として計算するなど「正確ではないが近しい値を用いる」という事が多々あります。その近しい値を求める時に使用するのが近似式です。

・極限式
変数をある値に近づけていった時、答えがどんな数字に近づいていくか、という事を求める式。
近づいていく値そのものを求めるよりも、グラフの性質(連続であるか、極致であるか、等)を判別する時に使う事が多い気がします。

お礼

極限式について。

たしかに言われればそうです。

導関数を求めてグラフの増減なり、極値なり、上に最大値があるとか下に最大値があるとかやってるような気がします。