【至急お願いします！】集合の問題です

質問

(a b)
(-b' a') (a,bはCに属する:a',b'はa,bの共役複素数)の形の二次行列全部の集合をAとする。X,YがAに属する2つの行列ならば、X＋Y,XーY,XYもAに属することを示せ。
またX＝(a b)
(-b' a') が零行列でなければXは正則行列で、その逆行列も正則行列である事を示せ。
と言う問題なのですがどのような方針で解いたら良いかすらわかりません！
出来るだけ詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

これが集合の問題に見えてる時点でアウトですな。

　こんなキホン中のキホンの練習問題をやるときの方針はですね、「複素数」「共役複素数」「行列の和、積」「零行列」「正則行列」「逆行列」の意味がもし分からないのなら、まず調べてしっかり理解するという事です。

　なお、練習問題とは言いながら、実は「Aに属し、しかも aa' + bb' = 1であるような行列」は特別に重要な意味を持っていて、「ユニタリ行列」という名前までついていますから、この問題はおろそかにできません。
　以下、行列Xの第n行第m列の成分である複素数をX[n,m]と書く事にします。

　一つ目：「X,YがAに属するとき、X+YはAに属するか？」という問いはこういう意味です：
「XがAに属する」とは、「XがAの要素である (X∈A)」ということであり、すなわち、Xは何らかの複素数が2行2列に並んだ行列であって、ただし
　　X[2,2] = (X[1,1])'
　　X[2,1] = -(X[1,2])'
を満たしている、ということ。YもAの要素なので、何らかの複素数が2行2列に並んだ行列であって、ただし
　　Y[2,2] = (Y[1,1])'
　　Y[2,1] = -(Y[1,2])'
を満たしている。ここで、行列
　　Z = X+Y
を作ると、さて、「Zは何らかの複素数が2行2列に並んだ行列であって、しかも
　　Z[2,2] = (Z[1,1])'
　　Z[2,1] = -(Z[1,2])'
を満たす」と言えるかどうか、ということです。実際にZを作って確かめるだけの話。X-Y, XYも同様です。

　二つ目。Xが正則行列だということは、Xの逆行列が存在する、ということと同じ意味です。おそらく出題者は、Xの逆行列を実際に計算し、それをXに右から掛けても、左から掛けても、単位行列が得られることを確かめろ、と求めているんじゃないかな？（もし逆行列の作り方が分からないのなら、冒頭に書いた方針に戻らなくちゃ。）
　一方、「Xの逆行列が正則行列であることを示せ」というのはアホみたいな問いです。なぜなら((Xの逆行列)の逆行列)はXだから。これを確かめる作業は、「Xの逆行列を実際に計算し、それをXに右から掛けても、左から掛けても、単位行列が得られることを示」した時点で終わっています。

　ところで、以下はただの憶測ですが、もしかして、質問者氏はこの二つ目の問題の一番肝心なポイントを書き落としていらっしゃるんではないか。そして、それは
　　「XがAに属するとき、Xの逆行列もまたAに属することを示せ」
という問いではないでしょうか。