数学についての質問です．(偏微分です)

質問

数学についての質問です．(偏微分)

A,k,ωを正定数，Φを定数として，

u(x,t)＝Asin(kx－ωt+Φ) と定義された．

u(x,t)が utt=v^2 uxx (vは正定数)

を満たすとき，vをu(x,t)の定義の中にある定数で表してください．

どなたか回答をよろしくお願いします．

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

u＝Asin(kx－ωt+Φ) を t で２回偏微分すると，
u_t＝－ωAcos(kx－ωt+Φ)　・・・・・１回目の偏微分
u_tt＝－(－ω)(－ω)Asin(kx－ωt+Φ)
u_tt＝－ω^2Asin(kx－ωt+Φ)　・・・・２回目の偏微分
になります．

次に，u＝Asin(kx－ωt+Φ) を x で二回偏微分すると，
u＝Asin(kx－ωt+Φ)
u_x＝kAcos(kx－ωt+Φ)　・・・・・１回目の偏微分
u_xx＝－k^2Asin(kx－ωt+Φ)　・・・２回目の偏微分
を得ます．

utt=v^2 uxx は，
－ω^2Asin(kx－ωt+Φ) ＝(v^2 )(－k^2Asin(kx－ωt+Φ))
ですから，これを計算すると，
ω^2 ＝(v^2 )k^2
(ω^2)/(k^2) ＝ v^2
となりますから，答えは，

v＝±(ω/k)

です．v は，(ω^2)/(k^2)＝v^2 から導き出されますので，プラス，マイナスが付きます．すなわち，

v＝ω/k，または，v＝－ω/k です．

お礼

解りやすいご回答ありがとうございました．
答えは，v=ω/kとv=-ω/k　になりました．
途中式も詳しく書いて頂きありがとうございました．

回答No.2

Knotopolog

答えは， v＝±(ω/k) にならないですか？

回答No.1

info222_

u(x,t)=Asin(kx－ωt+Φ)

u_xx(x,t)=Ak^2・(-sin(kx－ωt+Φ))
=-Ak^2・sin(kx－ωt+Φ)

u_tt(x,t)=A(-ω)^2・(-sin(kx－ωt+Φ))
=-Aω^2・sin(kx－ωt+Φ)
=v^2・u_xx(x,t)=-Ak^2・v^2・sin(kx－ωt+Φ)

∴Aω^2=Ak^2・v^2 ⇒ v^2=(ω/k)^2 ⇒ （答）ｖ=ω/k