特性曲線、1階偏微分方程式の問題を教えて下さい

質問

この問題が分かりません。
u=f(x,y)はx,yの連続微分可能関数で
y(∂u/∂x)-x(∂u/∂y)=0
とする。

このときA>0を任意定数とする曲線
x(t)=Asint,y(t)=Acost,(-∞<t<∞)
上で、u=f(x(t),y(t))がtについて定数であることを示しなさい。
という問題です。
どなたか教えて下さい。
お願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

y(∂u/∂x)-x(∂u/∂y)=0 (u = f(x,y))

補助方程式を解くと
dx/y = dt , dy/(-x) = dt
dx/dt = y , dy/dt = -x
∴dy/dx = -x/y
∴x^2 + y^2 = C (C：常数)
よって一般解はu = f(x^2 + y^2)

x(t) = Acost , y(t) = Asint より
x^2 + y^2 = A^2
∴u = f(A^2)
となりtには無関係な定数となる

お礼

ありがとうございました
大変助かりました

補足

回答有難うございます。
少し気になったので教えていただきたいのですが、
「tについて定数である」
とは
tによって(つまりtがどの値であっても)uは変わらない、
ということでいいのでしょうか？