数学の連立方程式でわからない問題が…

質問

(９－ｋ)ｘ－７ｙ＝０　と　４ｘ＋(ｋ＋３)ｙ＝０　が(ｘ，ｙ)≠(０，０)となる解をもつときに、(９－ｋ)(ｋ＋３)＋７・４＝０　となるのはなぜですか。公式のようなものがあるのでしょうか。

回答No.3

at9_am · ベストアンサー

グラフで考えると良いかな？
方程式の解は、グラフでいえば交点です。

> (９－ｋ)ｘ－７ｙ＝０　と　４ｘ＋(ｋ＋３)ｙ＝０
は両方とも(0,0)を通るのは大丈夫ですよね？　しかも直線ですから、この二本が(x,y)≠(0,0)となる解をもつためには二つの直線がぴたりと重なる時です。
つまり傾きが同じである時ですから、
　(９－ｋ)ｘ－７ｙ＝０から傾きが(9-k)/7
　４ｘ＋(ｋ＋３)ｙ＝０から傾きが-4/(k+3)
より
　(9-k)/7＝-4/(k+3)
となります。これを変形すると
　(9-k)(k+3)+7×4＝0
が出てきます。

回答No.4

info222_

>公式のようなものがあるのでしょうか。
有ります。

一般に
連立方程式
　ax+by=0　　・・・(1)
　cx+dy=0　　・・・(2)

が（ｘ、ｙ）≠(0,0)なる解をもつ条件は
　ad-bc=0　…(※)
です。

この式（※）の連立方程式の係数であるa,b,c,dに
　a=(９－ｋ), b=－７, c=４, d=(ｋ＋３)
を代入すれば
　(９－ｋ)(ｋ＋３)＋７・４＝０
が得られることは明らかでしょう。

論より証拠、
実際に連立方程式を解いてみると
　(９－ｋ)ｘ－７ｙ＝０　…(3)
　４ｘ＋(ｋ＋３)ｙ＝０　…(4)

(3)より
　y=(9-k)x/7　…(5)
(4)に代入
　4x+(9-k)(k+3)x/7=0
7を掛けて
　{7・4+(9-k)(k+3)}x=0 …(6)
x=0とすると(5)よりy=0となり(x,y)=(0,0)となるので
(0,0)でない解をもつには　x≠0でなければならない。このとき
　{7・4+(9-k)(k+3)}=0
つまり
　(9-k)(k+3)+7・4=0　…(★)
これから
　k=-5 or 11

x≠0, k=-5および k=11のとき
(5)より y=2x
すなわち　(★)が成り立つとき
　x=c(≠0), y=2c (cはゼロでない任意定数)
という　「(0,0）でない解」を確かに持ちます。

回答No.2

noname#199771

公式と言ってもいいです。
行列式を知っていれば明らかです。

x,yについての連立方程式

ax+by=0　　・・・(1)
cx+dy=0　　・・・(2)

（a,b,c,dは定数）

がx=y=0以外の解をもつための
必要十分条件は

ad-bc=0

です。

（十分性）
ad-bc=0とします。

もしa=b=c=d=0ならばxやyが何
であっても(1)(2)の解になります。
ですのでa,b,c,dのうちどれか一つ
たとえばaは0でないとしてよいです。
（b,c,dが0でないときも同様）

x=-b,y=aとすれば(x,y)≠(0,0)であり
ax+by=a(-b)+ba=0
cx+dy=c(-b)+da=c(-b)+bc=0
（下の式にad-bc=0を使用）
なのでこの(x,y)は(1)(2)の解になります。

（必要性）
ad-bc≠0ならば
0=d(ax+by)-b(cx+dy)=(ad-bc)x
より、x=0
0=c(ax+by)-a(cx+dy)=(bc-ad)y
より、y=0
つまり必然的にx=y=0となります。

回答No.1

yyssaa

＞４x+(k+3)y=0からy=-4x/(k+3)を(9-k)x-7y=0に代入すると
(9-k)x-7{-4x/(k+3)}=0
(9-k)x=7{-4x/(k+3)}
(9-k)=7{-4/(k+3)}
(9-k)(k+3)=7*(-4)
(9-k)(k+3)+7*4=0