空間図形

質問

原点O、A（1/2. √3/2. 0）、B（-1/2. √3/2. 0）、Cを
頂点とする1辺の長さが 1 の正四面体 k において、辺ABの中点をMとする。
ただし、Cのz座標は正とする。
カクCOM= θ とするとき、
COSθ = √2/2
この時の、点Cは？

また、上記を踏まえて、kに外接する球面の方程式は、
x^2 + （y - □）^2 + （2 - □）^2 = □
である。
□をお願いします。

どちらかでも、構いませんので、宜しくお願い致します。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

この時の、点Cは？
＞
CMは1辺の長さが1の正三角形の高さなのでCM=(√3)/2
又、点Mの座標は(0,(√3)/2,0)
Cのy座標をy、z座標をzとすると、y^2+z^2=OC^2
COSθ=√2/2=y/OC、{y-(√3)/2}^2+z^2={(√3)/2}^2より、
y=z=(√3)/2、よって、点C=C{0,(√3)/2,(√3)/2}・・・答え

また、上記を踏まえて、kに外接する球面の方程式は、
x^2 + （y - □）^2 + （2 - □）^2 = □
である。
＞
kに外接する球面の半径は公式より(√6)/4。
外接球の中心をP(0,a,b)とすると、
x^2+(y-a)^2+(z-b)^2={(√6)/4}^2=3/8が点A点Cを通るので、
(1/2)^2+(√3/2-a)^2+(0-b)^2=3/8
0^2+(√3/2-a)^2+(√3/2-b)^2=3/8を連立で解くと
a=(6√3±√6)/12、b=1/(2√3)=(√3)/6
aのうちの(6√3+√6)/12は条件に合わないので、
a=(6√3-√6)/12
よって球面の方程式は
x^2+{y-(6√3-√6)/12}^2+{z-(√3)/6}^2=3/8・・・答え

お礼

大変わかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

質問者さんへ。
正四面体 k の頂点の一つが原点Oだとすると、COSθ = √2/2
とはなりません。
COSθ = √2/2が問題の条件なら、原点Oは正四面体 k の頂点
の一つにはなりません。
問題の内容を吟味して下さい。

回答No.3

ferien

＞原点O、A（1/2. √3/2. 0）、B（-1/2. √3/2. 0）、Cを
＞頂点とする1辺の長さが 1 の正四面体 k において、辺ABの中点をMとする。
＞ただし、Cのz座標は正とする。
＞カクCOM= θ とするとき、
＞COSθ = √2/2
＞この時の、点Cは？
辺ABの中点をMとするから、Ｍ（０，√３／２，０）より、ＯＭ＝√３／２
頂点をＣ，底面を△ＯＡＢとする。Ｃから垂線をおろし底面との交点をＨとすると、
正四面体だから、Ｈは△ＯＡＢの重心。
また、ＨはＯＭ上にあるから、Ｃのｘ座標は、ｘ＝０
ＯＨ：ＨＭ＝２：１より、ＯＨ＝(2/3)ＯＭ＝(2/3)×（√３／２）＝√３／３
よって、Ｃのｙ座標は、ｙ＝√３／３
△ＣＯＨは、直角三角形だから、
ＣＨ^2＝ＯＣ^2－ＯＨ^2＝１－（√３／３）^2＝２／３より、ＣＨ＝√６／３
よって、Ｃのｚ座標は、ｚ＝√６／３
以上より、Ｃ（０，√３／３，√６／３）

＞カクCOM= θ とするとき、
＞COSθ = √2/2
は使いませんでした。
正四面体であるという条件だけ使いました。これで、ＯＣ＝ＡＣ＝ＢＣ＝１を満たしています。

＞また、上記を踏まえて、kに外接する球面の方程式は、
＞x^2 + （y - □）^2 + （z - □）^2 = □
球面の方程式を（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2＋（ｚ－ｃ）^2＝ｒ^2とおくと、
正四面体ｋに外接するには、Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃを通ればいいから、
それぞれ座標を代入すると、
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｒ^2
（１／２－ａ）^2＋（√３／２－ｂ）^2＋ｃ^2＝ｒ^2より、
（１／４）－ａ＋（３／４）－√３ｂ＝０
（－１／２－ａ）^2＋（√３／２－ｂ）^2＋ｃ^2＝ｒ^2より、
（１／４）＋ａ＋（３／４）－√３ｂ＝０
ａ^2＋（√３／３－ｂ）^2＋（√６／３－ｃ）^2＝ｒ^2より、
（３／９）－（２√３／３）ｂ＋（６／９）－（２√６／３）ｃ＝０
連立方程式を解くと、ａ＝０，ｂ＝√３／３，ｃ＝√６／１２
よって、ｒ^2＝（√３／３）^2＋（√６／１２）^2＝３／８
よって、求める方程式は、
ｘ^2＋｛ｙ－（√３／３）｝^2＋｛ｚ－（√６／１２）｝^2＝３／８

図を描いて確認して下さい。
（使わない条件があったので、もしも問題が違っていたら、教えて下さい。）

回答No.1

Tacosan

とりあえず自力で進めて「どこが分からないのか」を書いてみてください.

ああ, 上は問題がおかしいね.