任意座標の求め方

質問

原点G(X0-Y0)をとりこのG点を取り囲む３点の座標、A(Xa-Ya) B(Xb-Yb) C(Xc-Yc) があるとします この時、G点から３点までの距離を等距離とします

次に、３点ABCを結んだ三角形の中に任意点Dをとり、このD点からそれぞれA 点、B点、C点を結びます この時、∠ADB、∠BDC、∠CDAの角度のみ分かっています

この場合、任意点Dの座標を距離を使わず３角度のみで求めることは可能ですか？ また、D点からG点までの距離、∠ADGを求めることは可能ですか？（∠BDG、∠CDGでもかまいません）

例題で画像を添付しました
原点Gを(0-0)とし、点ABCをそれぞれの座標とした時、任意D点座標の求め方を教えて下さい
また、求め方の計算式があるとするならば、教えてもらえれば助かります
わかる方がいましたら、よろしくお願いします

回答No.5

178-tall

蛇足。γの算式を追記。

　γ= arctan[ {k*sin(π/3 +θ2) - sin(θ1) } / {k*cos(π/3 +θ2) + cos(θ1) } ]

回答No.4

178-tall

添付図の三角形 ABC (時計回り) の底辺を x 軸とし、C を原点とする直交座標を想定。
　C (0, 0), B (1, 0), A (1/2, (√3)/2 )
なる「正三角形」内の点 D (x, y) について、
　∠CDB = θ1, ∠CDA = θ2, ∠ADB = θ3 = 2π-θ1 -θ2
が与えられたとき、D (x, y) 座標を勘定するという一例でも…。

k = sin(θ2)/sin(θ1) として、∠CBD = φ は
　φ= arctan[-sin(π/3 +θ1 +θ2)/{k + cos(π/3 +θ1 +θ2) }
らしい。
CD = d は、正弦定理により次式で得られる。
　d = sin(φ)/sin(θ1)

∠DCB = π-θ1 -φ = γ とすれば、
　x = d*cos(γ)
　y = d*sin(γ)
から得られるだろう。

回答No.3

178-tall

お気づきでしょうけど、タイプミスあり。
訂正。

φ1 +φ2 = π/3 なので (**) の末尾項は、e2/sin(θ2' - φ2)　ただし θ2' = θ2 + π/3 で既知値。

回答No.2

178-tall

△ABC のパラメータを知り易い正三角形の場合の試算例をブリーフィングしてみます。
(正三角形でなくとも、必要な「パラメータ値」を予め算出しておけば、同様に勘定できそう…)

辺長 L の正三角形 △ABC 内の一点 D と、頂点 A, B, C とを結ぶ線分 e1, e2, e3 で 3 つの三角形を得たとしましょう。
点 D の周りの 3 つの角を θ1, θ2, θ3 とする (当然、θ1 +θ2 +θ3 = 2π) 。
また、頂点 A にて隣接する 2 つの角を φ1, φ2 とする (当然、φ1 +φ2 = π/3) 。
「このφ1, φ2 の 1 ペアを知れば、あとは点 D の位置を推算できるはず」という見込み捜査ですけど。

勘定の手がかりは「正弦定理」です。
隣接する 2 つの角を φ1, φ2 をもつ頂点において「正弦定理」を適用し、たとえば、
　L/sin(θ1) = e1/sin(φ1) = e2/sin(θ1+φ1)　　　…(*)
　L/sin(θ2) = e3/sin(φ2) = e2/sin(θ2+φ2)　　　…(**)
の関係が成立つ。
φ1 +φ2 = π/3 なので (**) の末尾項は、e2/sin(θ2'+φ2)　ただし θ2' = θ2 + π/3 で既知値。
あとは、(*), (**) の先頭項の比、
　k = sin(θ2)/sin(θ1)
を出したあと、加法算式から、
　tan(φ1) = {sin(θ2') - k*sin(θ1) }/{k*cos(θ1) + cos(θ2') }
を得る。

φ1 が一つわかれば、あとは芋蔓式に各部の寸法を勘定できるでしょう。

回答No.1

nag0720

＞この場合、任意点Dの座標を距離を使わず３角度のみで求めることは可能ですか？

「距離を使わず」とはどういう意味でしょう？
点Dの座標を求めるには３角度だけでは無理です。３点ABCの座標も必要です。

＞また、D点からG点までの距離、∠ADGを求めることは可能ですか？

点Dの座標が分かれば、G点（原点）までの距離はすぐ出ます。
∠ADGも内積を計算すれば出ます。

計算式はかなり複雑になりそうなので方法論だけ。

３点ABCを通る平面上で考えれば、
三角形ABCの内部に、∠AEB=∠ADBとなる点Eを適当にとって三角形ABEの外接円を描くと、点Dはその外接円上にあります。
同様に、∠BFC=∠BDCとなる点Fを適当にとって三角形BCFの外接円を描けば、点Dはその２つの外接円の交点になります。
あとは、これを方程式にして解を求めればD点座標の座標が分かります。

３次元上の平面は回転変換でXY平面にすることができるので、XY平面上で上記の方法でD点のXY座標めて、それを逆回転変換で３次元上のXYZ座標に戻してやればいい。

XY平面に変換せずに３次元のままで同じように考えて、球と球と平面との交点を求めるという方法でもいいでしょう。
その場合は、ベクトルで考えたほうが分かりやすいかもしれません。