底辺の長さと２辺の比が分かっている三角形について

質問

三角形について質問です。
底辺の長さが判明していて、
残る２辺についても、比は分かっています。
その２辺と底辺がつくっている２つの頂点の座標も分かっています。
そして、長さ不明の２辺のうちの１辺は、ベクトルも分かっています。

このような状態で、不明の頂点を算出する方法はありますでしょうか。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

底辺の一端をｘｙ座標の原点に置きこれを点Ｏとします。また、、他の一端をｘ軸上においてこれを点Ａとし、そのｘ座標をａとします。残る頂点をＢとします。
長さ不明の２辺のうちの１辺のベクトルを（ｐ、ｑ）とし、その一端を点Ａにおくと、点Ｂの座標は（ａ＋ｐ、ｑ）となります。これで三角形としては決まってしまうはずです。そもそも、ある線分についてベクトルは判っているが長さは不明というのはあり得ないと思うんですが。

なので、辺ＡＢのベクトルが判っているのではなく、単位方向ベクトルが判っているという前提で以後説明します。
この単位方向ベクトルを（ｐ、ｑ）とおきます。すると、単位ベクトルですから
ｐ＾２＋ｑ＾２＝１
この単位方向ベクトルにある実数ｔをかけたものがベクトルＡＢであり、それは（ｔ＊ｐ、ｔ＊ｑ）とあらわされます。辺ＡＢの長さの二乗は
ｔ＾２＊（ｐ＾２＋ｑ＾２）＝ｔ＾２
ですね。
頂点Ｂの座標は（ａ＋ｔ＊ｐ、ｔ＊ｑ）となり、辺ＯＢの長さの二乗は　（ａ＋ｔ＊ｐ）＾２＋（ｔ＊ｑ）＾２　と表されます。

ここで　辺ＯＢの長さ／辺ＡＢの長さ＝ｒとすると
（ａ＋ｔ＊ｐ）＾２＋（ｔ＊ｑ）＾２＝ｔ＾２＊ｒ＾２
です。ここでａ、ｐ、ｑ、ｒは既知で未知数はｔだけですから、ｔがもとめられますね。

お礼

丁寧かつ迅速なご回答、誠に有り難う御座います。
私が「ベクトル」と書いてしまった部分は、お察しのとおり「単位ベクトル」です。
お心づかいも頂いて、大変感謝しております。