行と列を入れ替えた式

質問

行と列を入れ替えた式

A=(a b c d)とします。この行列の行と列を入れ替えた行列は(a c b d)らしいんですが、行と列を入れ替えるという意味がよくわかりません
僕は、１行目と１列目を換えて、２行目と２列目を換えると考えました。しかし、その場合は(a b c d)で元に戻ってしまします。
何故、僕の考えでは行と列を入れ替えた行列にならないんでしょうか？？

誰か、うまく教えらる人 アドバイスおねがいします

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

行列で「行と列を入れ替える」というのは、
「対角線に沿って線対称に入れ替える」ことになります。
ですので、対角線上（左上から右下）の成分は変わりません。

2×2行列において
左上を(1, 1)、右上を(1, 2)
左下を(2, 1)、右下を(2, 2)

という座標もどきに表すことにして、行と列の数字を入れ替えることを考えます。
これが「行と列を入れ替える」の本当の意味です。

すると、対角成分は入れ替えても元の場所を指しています。
大学数学ではこれを「転置」と呼びます。

2×2行列では様子がわかりにくいので、3×3行列での転置の様子を合わせて添付しておきます。

回答No.3

drmuraberg

問題文に曖昧さが有ると思います。次のように書き換えてみましょう。

行(a,b)と行(c,d)からなる２行２列の行列AをA=(a b c d)と表します。　　　(1)
この行列Aの行と列を入れ替えた行列はＡ(a c b d)と表されます。　　　　(2)
行(a,b)を列(a,b)、行(c,d)を列(c,d)として２行ｘ２列の行列の形に並べ (1)の規則に
従って表記すると(2)となります。

つまり「行と列を入れ替える」という意味は「行成分を列成分とする」ことです。

１行目と１列目を換えて、（換えたものの）２行目と２列目を換えると、
その場合は「２重変換」が行われ結果として２ｘ２行列は元のＡ(a b c d)に
戻ってしまいます。

行と列を入れ替えた行列は転置行列tAとなりますが、
tA*Aはその対角線外の成分aij=aji　となります。
行列A(a b c d)　なら
a11= a^2+b^2, a12= ac+bd, a21=ac+bd, a22=c^2+d^2　です。

回答No.2

kamiyasiro

少し補足を，

行列，A＝
a
b
c
d　　（）は省略

の転置行列，AT　（Tは肩に付きます，Transpose の意味です）

は，AT＝（a b c d）

になります．

縦に（列に）並んでいた行列が
横に（行に）変わります．
行と列を入れ替えたのです．

ATA＝a^2＋b^2＋c^2＋d^2

上のように転置行列を前から掛けると，行列の内積になります．
すなわち，行列の直交性を議論するときに使います．