積分の平均値の定理

質問

I=[a,b]上の連続関数f,gについて以下が成り立つことを示せ
I上の任意の点ｘでg(x)≧０ならば
∫[b,a]f(x)g(x)dx=f(c)∫[b,a]g(x)dx
をみたす点c∈Iが存在する

これの解き方を教えてください
途中式もお願いします

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

最大値の定理より、fのIにおける最小値をL, 最大値をMとする。

するとI上の任意の点xにおいて g(x)≧0であるゆえ、Lg(x)≦f(x)g(x)≦Mg(x)。よって L∫[a≦x≦b] g(x)dx ≦∫[a≦x≦b] f(x)g(x)dx ≦ M∫[a≦x≦b] g(x)dx。

従って∫[a≦x≦b] g(x)dx = 0ならば ∫[a≦x≦b] f(x)g(x)dx =0となるから、c=aとすればよい。
そうでなければ ∫[a≦x≦b] g(x)dx > 0 であるから、d = (∫[a≦x≦b] f(x)g(x)dx ) / (∫[a≦x≦b] g(x)dx ) とおけば、L≦d≦Mであるから、fに対して中間値の定理を適用すれば f(c) = dなるc∈Iがある。このとき ∫[a≦x≦b] f(x)g(x)dx ) = d (∫[a≦x≦b] g(x)dx )であるゆえ成立する。