高校数学の三角比の問題です 3-9

質問

たて1.4mの絵が垂直な壁にかかっていて、絵の下端が目の高さより1.8m上方の位置にある　この絵を

たて方向にみこむ角が最大となる位置は壁から何mの所か

解説は絵をみこむ角をαとして座標を図のように設定すると(図は下のURLから見てください)△ABEの外接円O'の弧ABに対する円周角だから、円O'(半径はO'E)が小さいほどαは大きく、αが最大になるのはO'Eが最小の時である

つまりO'E⊥x軸のときαが最大だから図のように円O'がx軸に接しているときである、このとき、方べきの定理によりOA×OB=OE^2　よってOE=√(3.2×1.8)=2.4となっていたのですが、

まず弦がABで中心角がO'ですが、このような円が外接するというのは確実に起こることなのですか？何か都合よいような気がするのですが、

それと円O'(半径はO'E)が小さいほどαは大きく、αが最大になるのはO'Eが最小の時であるとあるのですが、何故この時にαが大きくなるのか分かりません、O'Eが最小の時というのも何故なのか分からないです

図http://imgur.com/a4SWp58

回答No.4

akinomyoga · ベストアンサー

> O'E⊥x軸のときαが最大になるのが、どうしても分からなかったです

「O'Eが最小の時にαが最大になる」という所までは良いでしょうか。
O'E⊥x軸の時がO'E最小の時に対応します。というのも、
　点O' は△ABEの外接円の中心なので、点O'は線分ABの垂直二等分線上にあります。
　x軸もABに垂直なので、ABの垂直二等分線とx軸は平行です。
　この時、(垂直二等分線とx軸の間隔) = (OA+OB)/2 です。
　また (垂直二等分線とx軸の間隔) = O'E sin(∠OEO') とも書けます。
　∴O'E sin(∠OEO') = (OA+OB)/2
　∴O'E = (OA+OB)/(2sin(∠OEO'))
　ここで、
　O'E が最小になる
　⇔(OA+OB)/(2sin(∠OEO')) が最小
　⇔sin∠OEO' が最大
　⇔∠OEO' = π/2 (∵ sin x は x=π/2 で最大値 1 を取る)
　⇔O'E ⊥ x軸
となるからです。

>>正弦定理。
>さすがに、これだけでは分かりません

ここの回答者は「正弦定理」というヒントすらなくてもちゃんと答えを見つけ出して回答を作っています。本来、正弦定理というヒントなしでも自分で考えて答えを見つけ出せる様になるべきです。"「正弦定理」というヒントだけでは分からないのが当然" といった様な態度ではなくて「与えられたヒントを用いて改めて自分で一から考えてみよう」という態度が向上の鍵になります。頑張って下さい。

お礼

御返答有難うございます

補足

非常に分かりやすかったです、有難うございました、宜しければ

高校数学の証明問題です　3-7の問題に補足を入れたのですが、こちらが合っているか確認をお願いしたいです

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>>正弦定理。
>さすがに、これだけでは分かりません

質問は正弦定理そのままです。

ご自分の質問と正弦定理をよく比べましょう。

お礼

御返答有難うございます

補足

高校数学の証明問題です　3-7の問題に補足を入れたのですが、これで合っていますか、確認の方お願いします

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞このような円が外接するというのは確実に起こることなのですか？

異なる3点を通る円は必ずあります。

>αが最大になるのはO'Eが最小の時であるとあるのですが、
>何故この時にαが大きくなるのか分かりません

正弦定理。

お礼

御返答有難うございます

補足

>正弦定理。
さすがに、これだけでは分かりません

回答No.1

akinomyoga

■1■ OE が円O'に外接すること

> まず弦がABで中心角がO'ですが、このような円が外接するというのは確実に起こることなのですか？

　(a) 円O'が△ABEに外接する事→これは、そもそも円O'その様に選んで作ったので当たり前です。
　(b) そうやって決めた円O' が図のx軸(直線OE) に外接するのか→必ずしも外接しない。距離OEによる。
　(c) 距離OEを調整する事によって、円O'がx軸に外接する様にできるのか→必ずできる。

(c) については、例えば

　(A) 実際にできると仮定した時に (解説の通りに) OE = 2.4 と求まり、それを使って改めて図を描いて実際に実現可能であるという事を確かめられる。

或いは、"仮説を導入して議論した後で整合性を検査する" というのが嫌であれば、例えば、以下の様な議論で距離OEを調整して外接させる事ができる事が分かります(もっとすっきりした示し方もあるかも)。

　(B) 円の中心O' はABの垂直二等分線とBEの垂直二等分線の交点として求められる。距離OE が充分小さい (E が O の近くにある) 時、AB, BE の垂直二等分線はほぼ平行であり、円の中心O'はずっと遠くにある。つまり O' は E より右にある。一方で、距離OE が充分に大きければBEの垂直二等分線はほぼ y 軸に平行になる。この時 O' は E より左にある。従って、距離 OE を 0 から段々と大きくしていく間に、必ず E と O' のx座標が同じになる距離OEが存在する。この時、∠O'EO = 90度 であり、直線OEは円O'の接線になっている。つまり、この時の距離OEが、円O'がx軸に外接する様な距離OEである。

■2■O'Eが最小の時にαが最大ということ

> それと円O'(半径はO'E)が小さいほどαは大きく、αが最大になるのはO'Eが最小の時であるとあるのですが、何故この時にαが大きくなるのか分かりません、O'Eが最小の時というのも何故なのか分からないです

「O'E が最小の時」というのは「O'の *半径* が最小の時」という意味でしかなくて、線分O'Eそれ自体の幾何学的な配置は関係ありません。

先ず、αの範囲について
　∠ABE が鈍角なので α=∠BEA は常に鋭角である。つまり 0 < α < 90度.

△BEAに対する正弦定理から
　sin∠BEA = AB/(2半径),
　sinα = AB/(2半径).

今、AB が固定で、半径が変化するとそれに応じて sinα が変化し、αも変化します。
0 < α < 90度では sinα はαの単調増加関数なので、
　αをできるだけ大きくする
　⇔sinαをできるだけ大きくする
　⇔sinα = AB/(2半径) をできるだけ大きくする
　⇔半径をできるだけ小さくする
　⇔O'Eをできるだけ小さくする
という事なので「O'Eが最小の時にαが最大になる」と言えます。

お礼

御返答有難うございます

補足

詳しい解説の方有難うございます、何度も読み返したのですが

O'E⊥x軸のときαが最大になるのが、どうしても分からなかったです