一次不等式の解の存在条件(整数解の個数)

質問

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax＜3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a＜0」、「0＜aかつa-3＜0」、「3＜a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0＜aかつa-3＜0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値で不適
----
【0＜aかつa-3＜0の場合】
(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
(イ): x＜3(a-3)
(ロ): x≦a
===============================

【a=3の場合】の説明について
どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」と導き出したか。
「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」であると、なぜ不適なのか。

【0＜aかつa-3＜0の場合】の説明について
なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

よろしくお願いします。

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞【a=3の場合】の説明について
＞どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」と導き出したか。
＞「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax＜3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
↓
3x＜3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)
↓
3x＜3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)
↓
x＜0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。

(イ)さえ成り立てば「連立する」のです。

(イ)は、最終的に

x＜0

になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x＜0と同じ」って事です。

＞「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」であると、なぜ不適なのか。

「x＜0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。

「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。

「なぜ不適なのか」と言われたら「x＜0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。

xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう？

＞なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

【0＜aかつa-3＜0の場合】
って事は
【0＜aかつa＜3の場合】
です。

【0＜aかつa＜3の場合】
を満たすaは、1と2だけです。

aが1の場合

(イ): x＜3(a-3)
(ロ): x≦a
↓
(イ): x＜3(1-3)
(ロ): x≦1
↓
(イ): x＜3×2
(ロ): x≦1
↓
(イ): x＜6
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x＜0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね？

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「３個じゃないから不適」です。

aが2の場合

(イ): x＜3(2-3)
(ロ): x≦a
↓
(イ): x＜3(2-3)
(ロ): x≦1
↓
(イ): x＜3×1
(ロ): x≦1
↓
(イ): x＜3
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x＜0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね？

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「３個じゃないから不適」です。

これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。

なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。

出題者が欲しい正解は

「aが○○の時」

です。

aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、０個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。

aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。

お礼

非常に詳しく書いて下さったお陰で、よく理解できました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

MSZ006

＞【a=3の場合】の説明について
＞どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」と導き出したか。

ax＜3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

にa=3を代入すると、
（イ）は、3x＜0　→　x＜０
（ロ)は、(a-3)=0なので、xがすべての実数で成り立つ
よって、「(イ)を満たしかつ(ロ)も満たすxの範囲はx＜0」となります。

＞「(イ)かつ(ロ)はx＜0と同値」であると、なぜ不適なのか。

x＜０のすべての実数で成り立つ訳ですから「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。

＞【0＜aかつa-3＜0の場合】の説明について
＞なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

＞(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
＞(イ): x＜3(a-3)
＞(ロ): x≦a

(イ)と(ロ)はどちらも負の方向には際限がない訳ですから、「この連立不等式を満たす整数がちょうど3個」には該当しません。

お礼

ありがとうございました。
お陰さまで理解することができました。