１対１対応の数学の問題で質問です！

質問

xについての連立不等式 ax<2a（a＋2）・・・(1)　（a＋2）x≧a（a＋2）・・・(2)　の解に入る整数がただ１つであるようなaの値を求めよ。
解の形がp≦x<qまたはp<x≦qにならないケースは不適である。
答え、「a<0かつa＋2>0（⇔-2<a<0）のとき、
(1)(2)はx>2（a＋2）　x≧a　と同値であり、この解に入る整数は無数にあるから不適である。
a=-2のとき、(1)かつ(2)は-2x<0と同地で不適。
a=0のとき、(1)は、0<0となりこれは成り立たないから不適である。
a<-2のとき、(1)(2)はx>2（a＋2）　x≦a
と同値であるから、2（a＋2）＜x≦a・・・(3)
の範囲に存在する整数がただ一つであるaを求める。
区間(3)の両端は、ともに整数であるから、(3)に入る整数がただ１つなら、それはaでaだけに限る条件は
2（a＋2）＝a-1（2（a＋2）が整数に注意）
a=-5
a>0のとき、(1)(2)によりa≦x＜2（a＋2）・・・(4)
区間(4)に入る整数がただ１つである条件は、2（a＋2）＝a＋1
よって、a=-3となるが、これはa>0に反する。
以上により、求める答えはa=-5」

疑問点(1)「a<0かつa＋2>0（⇔-2<a<0）のとき」となんで限られているのか。
例えば「a>0かつa＋2>0」など色々ありますよね。。

(2)「a=-2のとき、(1)かつ(2)は-2x<0と同地で不適。
a=0のとき、(1)は、0<0となりこれは成り立たないから不適である。」
ここの確認はどうして必要なのか？
またa=-2とa=0は一体どこからきたのか！？

(3)「区間(3)の両端は、ともに整数であるから、(3)に入る整数がただ１つなら、それはaでaだけに限る条件は
2（a＋2）＝a-1（2（a＋2）が整数に注意）」

2（a＋2）＝a-1 ・・・この式は一体・・・？？

疑問が多すぎですが、誰かこの問題を分かりやすく教えてください。

お願いします（◞‸◟）

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

問題文ですが、「aも整数」という条件がありますか？
それがないと、あとの解答が続かないようなので・・・

おおまかな攻め方としては
・不等式(1)は両辺を aで割ることで、そして不等式(2)は両辺を a+2で割ることで xを求める形に変形できる。
・ということは、aと a+2の正負がポイントになる。
・a＝ 0、a＝ -2のときは別に考えた方がわかりやすい。

すると
(i) a＜ -2（a+ 2＜0 かつ a＜0）のとき
(ii) a＝ -2のとき
(iii) -2＜ a＜ 0（a+ 2＞ 0 かつ a＜ 0）のとき
(iv) a＝ 0のとき
(v) a＞ 0（a+ 2＞0 かつ a＞ 0）のとき

と場合分けされます。

そこで、
＞疑問点(1)「a<0かつa＋2>0（⇔-2<a<0）のとき」となんで限られているのか。
これはある意味「結果論」のようなものです。
a＝ -2、a＝ 0のときと合わせて、不適となるものをまとめているだけだと思います。
疑問点(2)も同じことです。
すべては、上の場合分けがきちんとできているかどうかということです。

最後の疑問点(3)ですが
2(a＋ 2)＜ x≦ aを満たす整数が 1つだけとなる。かつ aは整数。
右側に等号が含まれているので「aと 2(a＋ 2)の差が 1」となれば、
x＝ aがその解となります。
「aと 2(a＋ 2)の差が 1」⇒ a- 2(a＋ 2)＝ 1ということです。
この形に書いた方がわかりやすいと思います。
もう 1つの式も「差が 1」というように見た方がわかりやすいですね。

おそらく、いきなり「答え」を見ているのではないでしょうか？
少しでも自分でどうすればよいかを考えてみてください。
「両辺を aで割れたら」「両辺を a+2で割れたら」ぐらいは気付いておきたいところです。
はっきり言って、いきなり「答え」のような解答を書ける人はそういないと思います。

お礼

おかげさまで理解できました！

ありがとうございました(*´ω｀*)