方程式と不等式

質問

【問】xの不等式2ax-1≦4xの解がx≧-5であるとき,定数aの値を求めよ。

2ax-1≦4x
2ax-4x≦1
2x(a-2)≦1

ここまではできるのですが,
それからどうやって答えを導けば良いのかが
わからないので教えて下さい。

答え…a=19/10

回答No.4

info22 · ベストアンサー

＞2x(a-2)≦1
ここからですが
(a-2)により場合分けしましょう。

(1)a=2の場合
x*0≦1
で不等式は成立しますが、任意の実数について成立して
「解がx≧-5である」ことと矛盾します。
したがってa≠2

(2)a>2の場合
a-2>0
両辺を2(a-2)>0で割っても不等号の向きは変わらないので
x≦1/{2(a-2)}
この解は1/{2(a-2)}>0だからたとえばx=0も解に含まれます。
このことは「解がx≧-5である」ことと矛盾します。
したがって
a>2ではない。

(3)a<2の場合
(a-2)<0であるから
両辺を2(a-2)<0で割ると不等号の向きが変わるので
x≧1/{2(a-2)}
この解が「解がx≧-5である」ことと一致する為の条件は
1/{2(a-2)}=-5
2(a-2)=-1/5
a-2=-1/10
a=2-(1/10)=19/10
このaは場合の条件 a<2を満たしています。
このとき
x≧1/{2(a-2)}=-5
で解と一致しますのでa=19/10は題意を満たしています。

以上3通りの場合をまとめて、
求めるaの値がa=19/10と決まります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

丁寧でとてもわかりやすかったので
問題を解決することができました。
ありがとうございました。

回答No.3

abyss-sym

2x(a-2)≦1 の両辺を2(a-2)で割ります。(ただし、a≠2)
(1)a＞2のとき
x≦1/2(a-2) となります。
このとき、x≧-5 になることはない。(≧、≦の向きが違うため)

(2)a＜2 のとき
2(a-2)が負になるので、割ったときに不等号が逆になります。
したがって x≧1/2(a-2) となります。
1/2(a-2)=-5 であればいいから、この式から a=19/10 であり、a＜2を満たしている。

補足

ご回答ありがとうございます。

(1)のx≦1/2(a-2)はどうすれば出てくるのですか？
すみませんが教えて下さいっ。

回答No.2

koko_u_

>それからどうやって答えを導けば良いのかが
>わからないので教えて下さい。
そのまま x についての不等式を解く。
解こうと思えば、自然と a について場合分けが必要と悟るはずですが。。。

回答No.1

Quattro99

a-2が正、0、負で分けて考えればいいのでは？ 正、0は不適となりますけど。

補足

素早いご回答ありがとうございます。

2xは無視して(　)内のとこだけを使って考えれば良いということですか？