二次不等式

質問

－1≦ｘ≦２であるすべてのxに対して、不等式ｘ＾２＋ax＋a-2≦０が
成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

という問題がわからないので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

bgm38489 · ベストアンサー

ｙ＝左辺とすると、
この式のグラフは、ｘ＾２の係数が正であるので、下向きに凸。よって、x=-1,x=2の時、ｙ≦０であれば、与えられた不等式は成り立つ。（グラフを想像してください。上向きに凸であれば、どうなるかも。）
…という断り書きのもと、それぞれのｘの値を代入し、aの範囲を求めてください。

お礼

いくつもの質問に回答していただき、ありがとうございました。
丁寧に解き方を教えていただいて、数学への理解が深まりました。本当に感謝です。

回答No.3

info222_

f(x)=x^2+ax+a-2とおくと
y=f(x)のグラフはx^2の係数が1で正であるから下に凸の放物線となる。

さらに－1≦ｘ≦２の下限x=-1においてf(-1)=-1＜0であるから、

y=f(x)のグラフは図のようになる。
x=-1におけるy座標y=f(-1)=-1はx軸の下方の位置の点A(-1,-1)のようになる。

したがって
-1≦ｘ≦２であるすべてのxに対して、f(x)=x^2+ax+a-2≦０が成り立つための必要十分条件は

1≦ｘ≦2の上限のx=2において　f(2)=3a+2≦0 …(※)　が成り立つことである。
つまり、点B(2,f(2))=(2,3a+2)はx軸上か、x軸の下方にあれば良い。

(※)より求めるaの範囲は　a≦-2/3 …(答)

お礼

回答ありがとうございます。
図までつけていただけて、本当にわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.1

kamikami30

平方完成して場合分けですかね。

お礼

回答ありがとうございます。
解き方を教えていただいたのですが、
場合わけが苦手で、なかなかうまくできずに、質問しました＾＾；