数学の問題を教えてください。

質問

円と直線の共有点の個数を求めなさい。
（１）x^2+y^2=8、y=x+4
（２）x^2+y^2=4、y=-x+1

回答No.5

noname#215361 · ベストアンサー

円と直線の共有点の個数を求める問題なので、円の性質を使うべきだとは思いますが…。

(1)
x^2+y^2=8にy=x+4を代入すると
x^2+（x+4）^2=8→（x+2）^2=0
よって、x=-2が重複解となって1点で接するので、共有点は1個

(2)
x^2+y^2=4にy=-x+1 を代入すると
x^2+（-x+1）^4=4→（x-1/2）^2-7/4=0
よって、xは2つの解を持つので、共有点は2個

回答No.4

MSZ006

連立方程式の解の個数を調べるという方法もあります。

（１）x^2+y^2=8　---(1)
　　　y=x+4　　　 ---(2)

(2)を(1)に代入して整理すると、
x^2+4x+4=0
判別式D/4 = 4 - 4 =0 ∴重解→ひとつの共有点

（２）x^2+y^2=4　---(1)
　　　y=-x+1　　　 ---(2)

(2)を(1)に代入して整理すると、
2x^2-2x-3=0
判別式D/4 = 1 + 6 =7＞０ ∴２つの解→２つの共有点

回答No.3

chie65536（@chie65535）

「グラフに描く」では、数学ではなくて算数になっちゃうから、もう少し数学的に行こう。

＞（１）x^2+y^2=8、y=x+4

傾きが１で円に接する直線２本を「y=x+a」と「y=x+b」とする。このとき「a>b」とする。

a=4、または、b=4であるならば「y=x+4」は、円に接するので、共有点の個数は１個。

a>4>bであるならば「y=x+4」は、2本の接線の間を通るので、共通点の数は２個。

a<4、または、b<4であるならば「y=x+4」は、２本の接線の外側を通るので、共通点の数は０個。

y=x+aと円の接点は、傾きが1の直線と直交する直線の傾きをθとした時の、角度θの時の円上の点なので、arctan -1=-45度、-45度の時の円上の点の座標は(２√2×cos 45度,２√2×sin 45度)、つまり、(-2,2)になる。

(-2,2)をy=x+aに代入すると、2=-2+a、a=4。

a=4、または、b=4であるならば「y=x+4」は、円に接するので、共有点の個数は１個。

＞（２）x^2+y^2=4、y=-x+1

同様に計算してみよう。

回答No.2

info222_

(1)
円の中心(0,0)から直線までの距離d

d=4/√(1+1)=2√2

が半径r=√8=2√2と等しいので
共有点の個数は1個 (直線は円の接線,重解)。

(2)
x^2+y^2=4、y=-x+1
円の中心(0,0)から直線までの距離d

d=1/√(1+1)=1/√2

が半径r=2より小さいので
共有点の個数は2個 (直線は円と2点で交わる。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞（１）x^2+y^2=8、y=x+4

原点が中心で半径が√８、つまり、半径が２√２の円を書いて、ｙ軸上のｙ=4の点とx軸上のx=-4の点を通る直線を描いてみよう。

＞（２）x^2+y^2=4、y=-x+1

原点が中心で半径が√４、つまり、半径が２の円を書いて、ｙ軸上のｙ=1の点とx軸上のx=1の点を通る直線を描いてみよう。