数学

質問

（１）３点A（０，０）、Ｂ（２，１）、Ｃ（２，-２）をとおる円の方程式を求めよ。
（２）点（1,7）から円x２乗+y２乗＝25に引いた接線の方程式を求めよ。
（３）円x２乗+y２乗＝5と直線2ｘ-ｙ+ｋ＝0の共有点の個数は、定数ｋの値によって、どのように変わるか調べよ。
（４）円C:x２乗+y２乗＝10と直線l：ｘ-ｙ＝2がある。円Cが直線lから切り取る線分の長さを求めよ。

[解答]
（１）ｘ２乗+ｙ２乗-3ｘ+ｙ＝0
（２）4ｘ+3ｙ＝25、-3ｘ+4ｙ＝25
（３）-5＜ｋ＜5のとき2個
　　ｋ＝±5のとき１個
　　ｋ＜-5、5＜ｋのとき０個
（４）4√2

考え方を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.3

noname#146456 · ベストアンサー

(1)円の中心をS(p,q)、半径をrとおくと
SA^2=p^2+q^2
SB^2=(p-2)^2+(q-1)^2
SC^2=(p-2)^2+(q+2)^2
となりこれらはすべて半径rの2乗に等しいので
p^2+q^2=r^2…(1)
(p-2)^2+(q-1)^2=r^2…(2)
(p-2)^2+(q+2)^2=r^2…(3)
が成り立ちます。

すると(1)を(2)と(3)にそれぞれ代入すると
p^2-4p+4+q^2-2q+1=r^2-4p-2q+5=r^2
∴4p+2q=5…(4)
p^2-4p+4+q^2+4q+4=r^2-4p+4q+8=r^2
∴p-q=2…(5)
となります。

よって(4)と(5)より
(p,q)=(3/2,1/2)
となります。

よってこれを(1)に代入して
r^2=(3^2+1^2)/2^2=5/2
となります。

よって求める円の中心は(3/2,1/2)、半径は√(5/2)
となるのでその方程式は
(x-3/2)^2+(y-1/2)^2=5/2
となります。

(2)これはいくつか解法があります。
【解法1】判別式の利用
点(1,7)を通る直線の方程式は傾きをmとおくと
y-7=m(x-1)
∴y=mx-m+7
とおけます。

よってこれを円の方程式に代入すると
x^2+(mx-m+7)^2=(m^2+1)x^2-2m(m-7)x+(m-7)^2=25
∴(m^2+1)x^2-2m(m-7)x+m^2-14m+24=0
となりxの2次方程式になります。

するとこの直線は円に接するのでこの2次方程式は重解を
持つことになります。

よって
（判別式）/4=m^2(m-7)^2-(m^2+1)(m^2-14m+24)=0
∴m^4-14m^3+49m^2-(m^4-14m^3+25m^2-14m+24)=0
∴24m^2+14m-24=0
∴12m^2+7m-12=(3m+4)(4m-3)=0
∴m=-4/3,3/4
となります。

よって求める直線の方程式は
y-7=-(4/3)(x-1)
∴y=-(4/3)x+(25/3)
y-7=(3/4)(x-1)
∴y=(3/4)x+(25/4)
となります。

【解法2】点と直線の距離の公式の利用
点(1,7)を通る直線は円x^2+y^2=25=5^2に接します。

すると円の中心は原点(0,0)、半径は5と分かるので
原点から接線との距離は円の半径の5になります。

するとy=mx-m+7⇔mx-y-m+7=0なので
点と直線の距離の公式より
|-m+7|/√{m^2+1)=5
が成り立ちます。

よって両辺を2乗して整理すると
(m-7)^2=25(m^2+1)⇔24m^2+14m-24=0
∴12m^2+7m-12=(3m+4)(4m-3)=0
∴m=-4/3,3/4
となります。

よって求める直線の方程式は
y-7=-(4/3)(x-1)
∴y=-(4/3)x+(25/3)
y-7=(3/4)(x-1)
∴y=(3/4)x+(25/4)
となります。

この問題はどちらでもできますが【解法1】では計算が面倒に
なりますし、以下の問題も解くのが大変になります。
【解法2】は最初は抵抗を感じると思いますが以下の問題でも
図形的に考えることができて計算も少し楽なのでこちらの解法を
習熟されることをお薦めします。

と言うわけで以下の2問は点と直線の距離の公式を用いて回答します。

(3)円の中心は原点(0,0)なので中心と与えられた直線までの距離は
点と直線の距離の公式より
|k|/√(4+1)=|k|/√5
となります。

すると円と直線の関係は下図(3)のようになります。
よって
|k|/√5＞√5⇔|k|＞5⇔k＜-5、5＜kのとき共有点の個数は0
|k|/√5=√5⇔|k|=5⇔k=±5のとき共有点の個数は1
|k|/√5＜√5⇔|k|＜5⇔-5＜k＜5のとき共有点の個数は2
となります。

(4)与えられた円の中心は原点(0,0)で半径は√10となります。
すると円の中心と直線l:x-y-2=0との距離は点と直線の距離の公式より
|-2|/√(1+1)=√2
となります。

よって円と直線lの関係は下図のようになります。

よって切り取られる線分の長さは三平方の定理より
2√(10-2)=4√2
となります。

お礼

画像まで、詳しく
ありがとうございます(>_<)！！

回答No.2

noname#157574

数学II「図形と方程式」の章を熟読しなさい。

お礼

わかりました(>_<)
やってみます('◇')ゞ

回答No.1

mister_moonlight

＞考え方を教えてください。

(3)と(4)は、(基本的問題だが)　未だ考えるところがあるが　(1)と(2)は　まるっきり教科書の例題レベル。
何題か　易しい問題を連投しているが、少しは考えてるのか？　考えてるなら、どこまで考えたか、それを書け。
自分で考えないで、その場しのぎ　をしていたら、後々　後悔することになるぞ。

ここは、君個人のための“塾”ではない。

お礼

すいません。基礎から全くわかりません。