数学の問題

質問

数学の問題について質問です。
y=x^2-1 x^2+y^2=r^2 について
1.この２つの図形の共有点の個数が最大になるときのrの範囲を求めよ
2.共有点の個数が奇数になるときのrの値を求めよ
これについて解き方を教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

y=x^2-1　・・・（１）
x^2+y^2=r^2　・・・（２）
　（１）を（２）に代入すると、ｘの４次方程式になります。また、
（２）よりｘ＾２＝ｒ＾２－ｙ＾２　を（１）に代入するとｙの二次方程式
になります。つまり、この連立方程式は
ｘについては最大４個、ｙについては最大２個の実数解を
持つ可能性があるということです。なぜ両者の数が異なるか
というと、ある一つの解が
ｘ＝ｐ
ｙ＝ｐ＾２－１
だったとすると、
ｘ＝－ｐ
ｙ＝ｐ＾２－１
もまた解になるからです。与えられた（１）と（２）のグラフを描いて
見ると、ｘ＜０の範囲に共通点があればｘ＞０の範囲にも
共通点があることが判ると思います。

以上より、共通点の個数は最大４個であり、そのとき上記の
ｙの二次方程式は異なる二つの実数解を持ちます。
（２）よりｘ＾２＝ｒ＾２－ｙ＾２
これを（１）に代入すると
ｙ＝ｒ＾２－ｙ＾２－１
ｙ＾２＋ｙ－ｒ＾２＋１＝０　・・・（３）
この判別式を取ってその値を正とすると
１－４（－ｒ＾２＋１）＞０
４ｒ＾２＞３
ｒが円の半径だとすればｒ＞＝０なので
ｒ＞√３／２

ただし、二次方程式（３）の解がー１より小さいと
（１）より　ｘ＝±√（ｙ＋１）
の根号の中が負になるのでこの範囲は除外しなくてはなりません。
ｙ＝－１のときｘ＝０なのでこれらを（２）に代入するとｒ＾２＝１
上記同様ｒ＞＝０なのでｒ＝１
これは（２）の円が（０、－１）を通る時に相当し、これよりもｒが
大きくなると（１）と（２）は２個しか共通点を持ちません。
よって
１＞＝ｒ＞√３／２

さらにｒ＝１だと共通点は３個になってしまうのでそれを除外すると
１＞ｒ＞√３／２

共通点の個数が奇数になるのは共通点が３個のときであり、それは
上記よりｒ＝１のときとなります。

回答No.2

yyssaa

＞y=x^2-1・・・・・(1) x^2+y^2=r^2・・・・・(2)
(1)を(2)に代入x^4-x^2+1-r^2=0、x^2=zとして
z^2-z+(1-r^2)=0が異なる2実根を持つのは
1-4(1-r^2)=4r^2-3＞0、r^2＞3/4、|r|＞√3/2・・・・・(3)
このときz=(1±√(4r^2-3)}/2となるがz≧0だから
1-√(4r^2-3)≧0
しかし1-√(4r^2-3)=0ではx=0,±√[(1+√(4r^2-3)}/2]
となり、２つの図形の共有点の個数は3個。
従って２つの図形の共有点の個数が最大、すなわち4個
となるための必要条件は1-√(4r^2-3)＞0、1＞√(4r^2-3)
1＞r^2、|r|＜1・・・・・(4)
(3)(4)の共通範囲から２つの図形の共有点の個数が最大、
すなわち4個となるrの範囲は、
-1＜r＜-√3/2及び√3/2＜r＜1・・・答
2.共有点の個数が奇数になるときのrの値を求めよ
1-√(4r^2-3)=0よりr^2=1、r=±1・・・答

回答No.1

info222_

y=x^2-1 x^2+y^2=r^2 について
1.
この２つの図形の共有点の個数が最大になるときのrの範囲を求めよ

グラフを描けば共有点の個数が最大になるときは４個であることがわかる。

(y+1)+y^2=r^2 (r>0)の判別式D=1-4(1-r^2)=0より r=√3/2
共有点が４個となるrの範囲は
√3/2<r<1　…(答)

2.
共有点の個数が奇数になるときのrの値を求めよ

グラフを描けば共有点の個数が奇数になるときは
個数が３個で
　r=1　…(答)
の場合であることがわかる。
このときの共有点は
　y=x^2-1, x^2+y^2=1
を解いて
(x,y)=(±1,0), (0,-1)