高校数学の反射の問題です 3-4

質問

光を反射する壁AOBがある　図のように点P[0]から角αで出た光が点P[1],P[2],P[3]....において次々に反射し,点

P[n]において壁に垂直に入射したとする　光が進んだ距離d=P[0]P[1]+P[1]P[2]+P[2]P[3]+.....+P[n-1]P[n]をOP[0]と角αとを用いて

表せ　ただし、∠P[0]P[1]O>π/2とする

解説はP[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にある、次に破線P[2']～P[n]を図のOCに関して折り返すと、はじめのP[0]～P[3]の4点からなる折れ線がまっすぐになる　

同様な操作を繰り返すと、はじめのP[0]～P[n]の折れ線は図の線分P[0]Hとなる　したがってd=P[0]P[1]+.....+P[n-1]H=OP[0]cosαとあるのですが

P[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるの所なのですが、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるか分からないのではないですか？

P[2']はOBに関してP[2]を対称移動させた点なのでP[0]P[1]P[2']は折れ線みたいになるかもしれないじゃないですか？何で直線になるんですか？　

P[3],P[4]...をOBに関して対称移動した点P[3'],P[4']とかは全て直線OC上にあるようですが、これも折れ線みたいになるかもしれないんじゃないですか？

直線状に綺麗に乗っているというのが納得できないです

回答No.7

gohtraw · ベストアンサー

証明してみせないとダメか？下手に書くと余計混乱させそうで怖いのだが。

直線ＯＢをｘｙ平面のｘ軸上におく。このとき点Ｂは点Ｏよりも右側にあると
する（つまり点Ｂのｘ座標＞点Ｏのｘ座標）
また、点Ｐ（ｎ）を原点（０，０）におく。

このｘｙ平面上に点Ｐ（ｎ-1）とＰ’（ｎ＋１）をおく。どこでもいいのだが
点Ｐ（ｎ－１）を第一象限（ｘ、ｙともに正である領域）におき、その座標を
（ｐ、ｑ）とする。また、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとする。
このとき、ｔａｎΘ＝ｑ／ｐ　である。

点Ｐ（ｎ－１）を第一象限においた場合、点Ｐ’（n+1)は第三象限にある。
その座標を（ｒ、ｓ）とする。
∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）ＯはΘに等しいので、
ｔａｎΘ＝ｓ／ｒ　である。

以上より、ｑ／ｐ＝ｓ／ｒであるから、ｓ／ｑ＝ｒ／ｐである。
ｓ／ｑ＝ｒ／ｐ＝α　とおくと、点Ｐ’（n+1)の座標は
（ｒ、ｓ）＝（αｐ、αｑ）
と表すことが出来る。Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）は同一の点ではないので
αは１ではない。

ここでＰ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）を通す直線を考える。この直線は
（ｙ－αｑ）／（ｘ－αｐ）＝（αｑ－ｑ）／（αｐ－ｐ）
ｐ(αー１）（ｙ－αｑ）＝ｑ（αー１）（ｘ－αｐ）
ｐ（ｙ－αｑ）＝ｑ（ｘ－αｐ）
ｐｙ＝ｑｘ
となり、原点、つまりＰ（ｎ）を通る。

以上より、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
を満たすときＰ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、ｐ’（ｎ＋１）の三点は直線上にある。

お礼

御返答有難うございます

補足

>∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとする。
>このとき、ｔａｎΘ＝ｑ／ｐ　である。
ｔａｎΘ＝ｑ／ｐこれがまず分からないです、-q/pじゃないですか？

>点Ｐ（ｎ－１）を第一象限においた場合、点Ｐ’（n+1)は第
>三象限にある。
これも何で第3象限になるんですか？

とりあえずこの2つが分からないと後の所も分からないと思うので、解説の方よろしくお願いします

回答No.11

gohtraw

もうこっちも訳が判らなくなっているのだが、

＞直線OBと直線P[n-1]P'[n+1]が交わるって事ですか？
＞いえ、反対側です
Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）が直線ＯＢを挟んで反対側にあるにもかかわらず
直線ＯＢと直線Ｐ（ｎ－１）Ｐ’（ｎ＋１）が交わらないなんてことがあるのかい？

＞折れ曲がったような図になりますが
確認なのだが、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
だよ？
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｂ
とか、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｏ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
ではなくて。

どんな図になったのか、画像をアップしてくれないか？不思議で夜も
寝られないのだが。

お礼

御返答有難うございます

補足

>直線ＯＢと直線Ｐ（ｎ－１）Ｐ’（ｎ＋１）が交わらないなん>てことがあるのかい？
勿論交わりますよ、交わらないなんて書きましたか？

>∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
だよ？

はい、そうだと思います、それが対頂角じゃないんですか？

>∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｂ
とか、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｏ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
ではなくて。

はい、そんな事書きましたか？

回答No.10

gohtraw

P(n+1)とＯＢに対して対称の意味、判ってる？

（１）Ｐ（ｎ＋１）からＯＢに垂線を引く
（２）その垂線とＯＢの交点をＱとし、ＱとＰ（ｎ＋１）の距離をｄとする
（３）その垂線上にあり、Ｑからの距離がｄである点をＰ’（ｎ＋１）とする
　　※実は（３）を満たす点は二つあり、ひとつはＰ（ｎ+1)。もうひとつが
　　　Ｐ’（ｎ＋１）

ここで間違ってないかい？
もしかしてＰ（ｎ）に対して対称な点をとっているとか？

お礼

御返答有難うございます

補足

>もしかしてＰ（ｎ）に対して対称な点をとっているとか？
いえいえ、勿論対称とは(1)～(3)で書いてるような事をやりましたよ

その上で∠P[n-1]P[n]O=∠P[n+1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oですよね？そして∠P[n-1]P[n]O=∠P[n+1]P[n]Oは入射角=反射角の関係で等しい　∠P[n+1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oは対称の関係で等しい　∠P[n+1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oだから∠P[n-1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oですよね、そして、この関係が成り立つのが対頂角だからですよね？

回答No.9

gohtraw

＞∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとするとΘって第二象限の角度ですよね？
第二象限のtanって－じゃないですか

第二象限の角のもというのもよく判らんが、要は鈍角になるということ
ね。それは点OとBの取り方によるね。もしBをｘが小さい側、Oをｘが
大きい側に取れば（つまりｘ座標を比べた場合にBよりもOの方が
大きいようにとれば）そうだろう。No8の回答に書かなかったのは
悪かったが、No7の回答には「点Ｂは点Ｏよりも右側にあるとする」
と書いている。No７のように点OとBを配置すれば
ｔａｎΘ＝ｑ／ｐ　だろう。
　まあそれは私の落ち度として、Θが鋭角であろうが鈍角であろうが
Ｐ（ｎ）とＰ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）は直線上にあるはずだが？

＞直線上に無い場合を前提としない場合は折れ曲がったような図に
＞なりますが
Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）が直線ＯＢの同じ側にあるということかい？
Ｐ（ｎ＋１）とＰ’（ｎ＋１）の区別はついているかい？Ｎｏ８の回答に、

このとき、P(n-1)とP'(n+1)は直線OBを挟んで反対側
　にあるように点を取ること。なぜなら、元々
　P(n-1)から出た光がOB上のP(n)で反射してP(n+1)に達した
　とき、P(n-1)とP(n+1)は直線OBの同じ側にあるはずで、
　P'(n+1)はP(n+1)をOBに対して対称の位置に移動したもの
　だから。

と書いているのだが？

＞直線OBと直線P[n-1]P'[n+1]が交わるって事ですか？
なぜ交わらないんだ？これも上記と同じで、
Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）が直線ＯＢの同じ側にあるということかい？
Ｐ（ｎ＋１）とＰ’（ｎ＋１）の区別はついているかい？

お礼

御返答有難うございます

補足

>Ｐ（ｎ）とＰ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）は直線上にあるはず>だが？
そこの理解に至るまでの説明ですよね、対頂角までは分かるのですが、対頂角が成り立つって事は2直線が交わるって事だから直線上にあるって事ですか？

>Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）が直線ＯＢの同じ側にあるということかい？

これが何のことか分からないのですが、P[n-1]はOBの下側でP'[n+1]はOBの上側ですよね

>Ｐ（ｎ＋１）とＰ’（ｎ＋１）の区別はついているかい？
はい、P[n+1]とP'[n+1]はOBに関して対称の位置にある点ですよね

>Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）が直線ＯＢの同じ側にあると>いうことかい？
いえ、反対側です

回答No.8

gohtraw

じゃあもう一回初めから図を描いてみようか。
まずは、三点が直線上にあるという前提をおかない場合。

（１）直線OBを引き、その上に点P(n)を取る
（２）直線OB上にはないところに点P(n-1)を取る。このとき、
　∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとする
（３）∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏとなるように、
　つまり∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ＝Θとなるように点P'(n+1)を
　取る。このとき、P(n-1)とP'(n+1)は直線OBを挟んで反対側
　にあるように点を取ること。なぜなら、元々
　P(n-1)から出た光がOB上のP(n)で反射してP(n+1)に達した
　とき、P(n-1)とP(n+1)は直線OBの同じ側にあるはずで、
　P'(n+1)はP(n+1)をOBに対して対称の位置に移動したもの
　だから。
　※図が描きやすいように、Θはキリのいい３０°とか４５°
　　とかにするといい
（４）この図を図（ａ）とする

次に、三点が直線上にあるという前提を置いた場合。
（１）直線ＯＢを引く。
（２）直線ＯＢと角度Θをなすように直線Ｐ（ｎ-1)Ｐ’（ｎ＋１）を
　　引き、交点をＰ（ｎ)とする。
　※Θは図（ａ）を書いたときと同じ角度ね。
（３）この図を図（ｂ）とする。

さあ、二つの図を比べたら、同じになっていないかい？
なぜそうなるのか考えることは悪くはないが、視覚的に
「気付く」ことも大事だよ。どうしても理屈を知りたいなら
回答Ｎｏ７の証明を読んどくれ。この問題を解くに当っては
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ　だから
Ｐ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、Ｐ’（ｎ＋１）は直線上にあるというだけで
よくて、証明までは求められないと思うけど。

＞ｔａｎΘ＝ｑ／ｐこれがまず分からないです、-q/pじゃないですか？
ｔａｎの定義としかいえない。なぜマイナスが付くのか教えてくれるかな？

＞これも何で第3象限になるんですか？
直線ＯＢをｘ軸上において、原点をＰ（ｎ)とする。Ｐ（ｎ－１）を第一象限
におくということは、Ｐ（ｎ－１）は原点の右上にあるということ。Ｐ（ｎ－１）
から出た光がＰ（ｎ）で反射すると、光は原点から左上に進む。ということ
はＰ（ｎ＋１）は原点の左上にあるということ。Ｐ’（ｎ＋１）は直線ＯＢ
（つまりｘ軸）に対してＰ（ｎ+1)と対称の位置にあるのだから、原点の
左下にある。つまり第三象限にある。

普通、難しいことや複雑なことを説明するには、易しいことや単純な
ことに分解していく。私もそうしているつもりだ。ところがあなたは
その易しいことで引っかかっている。それに対して説明するとさらに
易しいところで引っかかる。疑問を抱くことはいいことだが、それが
どんどん易しい方に向かっていくのは、あなたがその「易しいこと」
を身につけていないから。要は自分の力に見合っていない問題を
解こうとしている。それでも勉強にはなるというかもしれないが、
非常に非効率だと言わざるを得ない。やはり基礎固めをする必要が
あると私は思う。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ｔａｎの定義としかいえない。なぜマイナスが付くのか教え
>てくれるかな？

∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとするとΘって第二象限の角度ですよね？第二象限のtanって－じゃないですか

>さあ、二つの図を比べたら、同じになっていないかい？
直線上に無い場合を前提としない場合は折れ曲がったような図になりますが

∠P[n-1]P[n]B=∠P'[n+1]P[n]Oが成り立つということは対頂角で等しいと言う事ですか？対頂角で等しいということは直線OBと直線P[n-1]P'[n+1]が交わるって事ですか？

回答No.6

gohtraw

だから、
三点が直線上にあるという前提をおかずに回答Ｎｏ１で導いた
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
ということを示す図（ａ）と、

回答Ｎｏ３で書いた、二直線が交わった図（ｂ）が

同じ図になっていないかどうか、まずそれに答えてくれないか？

図（ｂ）はもし三点が直線上にあるとしたらという前提をおいて
描いたものだ。

もしこれらが同じ図になるなら、図（ａ）において三点は直線上に
あるといえるのではないか？

もう一つ聞きたいのだが、二つの図は描いた？

お礼

御返答有難うございます

補足

>同じ図になっていないかどうか、まずそれに答えてくれない
>か？
∠P[n-1]P[n]B=∠P'[n+1]P[n]Oが成り立つから

直線P[n-1]P'[n+1]と直線P[n+1]P'[n-1]は交わるから∠P[n-1]P[n]Bと∠P'[n+1]P[n]Oは対頂角になるって事ですか？

>もう一つ聞きたいのだが、二つの図は描いた？
勿論描きましたよ

回答No.5

gohtraw

だから、

三点が直線上にあるという前提を置かずに導いた
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
ということと、

二直線の交わりにおける対頂角が等しいということが
同じ図になっていないかと言っているんだが？

お礼

御返答有難うございます

補足

>二直線の交わりにおける対頂角が等しいということが
>同じ図になっていないかと言っているんだが？
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏこれは分かります

∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ'（ｎ+１）Ｐ（ｎ)Oは対頂角で等しいから2直線P[n-1]P[n+1]とP[n+1]P[n]が対頂角を作るからですか？

回答No.4

gohtraw

うまく伝わっていないといけないので、予め補足しておくね。
「同じことを繰り返す」というのは、
・反射面がＯＢだったらＯＢで折り返す
・反射面がＯＡだったらＯＡで折り返す
ということを順次繰り返し、Ｎｏ１と同様のことをするという意味だからね。

お礼

御返答有難うございます

補足

>Ｎｏ１と同様のことをするという意味だからね。
はい、それは分かるんですが、疑問点はNo3の補足に書きました

回答No.3

gohtraw

二直線が交わっているとき、対頂角は等しいって知ってるよね？
交点をＰ（ｎ）、一本の直線をＯＢ、もう一本の直線をＰ（ｎ－１）Ｐ’（ｎ＋１）
として描いてご覧。

先の私の回答で描いた（と期待しているが）図と同じになってないかい？

私の回答はｎを使っているので、一般性は失われていないはず。なので
同じことを繰り返していけば

Ｐ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、ｐ’（ｎ＋１）の三点が直線上にある
Ｐ（ｎ）、Ｐ’（ｎ＋１）、Ｐ’（ｎ＋２）の三点が直線上にある
Ｐ’（ｎ＋１）、Ｐ’（ｎ＋２）、Ｐ’（ｎ＋３）の三点が直線上にある
これを繰り返していけばすべて一直線上にあることが判ると
思うのだが・・・。

お礼

御返答有難うございます

補足

>二直線が交わっているとき、対頂角は等しいって知ってるね？
はい

>もう一本の直線をＰ（ｎ－１）Ｐ’（ｎ＋１）

この直線って折れ曲がってるかもしれないんじゃないですか？

何でまっすぐだと分かるんですか？

回答No.2

Tacosan

入射角と反射角が等しいということは理解できてる?

お礼

御返答有難うございます

補足

>入射角と反射角が等しいということは理解できてる?
勿論

回答No.1

gohtraw

OA上の点P（ｎ－１）から出た光がＯＢ上の点Ｐ（ｎ）で反射して
ＯＡ上の点Ｐ（ｎ＋１）に到達したとすると、反射の法則より
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ

ここでＡおよびＰ（ｎ＋１）をＯＢに対して対称な位置に移動した
点をＡ’およびＰ’（ｎ＋１）とすると、ＯＢに関する対称性から
∠Ｐ（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ

よって
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
これは
Ｐ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、ｐ’（ｎ＋１）の三点が直線状にあることに
他ならない。

図を描いて考えて御覧なさい。

お礼

御返答有難うございます、早速読み込んでみます

補足

∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
ここまで分かったんですが、その後
Ｐ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、ｐ’（ｎ＋１）の三点が直線状にあることに他ならない。　これが分からない、何で直線上にある事になるんですか？、それとA',点P[3'],P[4']とかが全て直線OC上にあるのが何故なのかもお願いします