高校数学の反射 3-4再質問です

質問

納得できる回答を得られなかったので再度投稿させていただきます

光を反射する壁AOBがある　図のように点P[0]から角αで出た光が点P[1],P[2],P[3]....において次々に反射し,点

P[n]において壁に垂直に入射したとする　光が進んだ距離d=P[0]P[1]+P[1]P[2]+P[2]P[3]+.....+P[n-1]P[n]をOP[0]と角αとを用いて

表せ　ただし、∠P[0]P[1]O>π/2とする

解説はP[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にある、次に破線P[2']～P[n]を図のOCに関して折り返すと、はじめのP[0]～P[3]の4点からなる折れ線がまっすぐになる　

同様な操作を繰り返すと、はじめのP[0]～P[n]の折れ線は図の線分P[0]Hとなる　したがってd=P[0]P[1]+.....+P[n-1]H=OP[0]cosαとあるのですが

P[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるの所なのですが、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるか分からないのではないですか？

P[2']はOBに関してP[2]を対称移動させた点なのでP[0]P[1]P[2']は折れ線みたいになるかもしれないじゃないですか？何で直線になるんですか？　

P[3],P[4]...をOBに関して対称移動した点P[3'],P[4']とかは全て直線OC上にあるようですが、これも折れ線みたいになるかもしれないんじゃないですか？
直線状に綺麗に乗っているというのが納得できないです

図は下のURLから見てください
http://imgur.com/hp0kKsU
http://imgur.com/moJFxht

回答No.3

akinomyoga · ベストアンサー

>>光の入射角と反射角が同じ事から ∠P0P2P1 = ∠P0P2O,
>∠P0P2Oってπですが、何か書き間違えでは？

すみません、∠P0P2O は ∠P3P2O の書き間違いです(文脈から推測できると思いますが)。

> CっていうのはAをOBに関して対称移動した点ですか？
そうです。添付画像にある通りです。

>>∠OP2'P3 = ∠P0P2O
>ここでも∠P0P2Oはπのはずですが∠P0P2Oは∠P[0]P[2]Oの事ですよね？
これも ∠P0P2O は ∠P3P2O の書き間違いです。∠P0P2Oは∠P[0]P[2]Oの事で良いです。

この時
　∠P1P2'C = ∠OP2'P3　…(a')
は、回答No.1の(a)式と同じ様な配置になっています。(ここからはNo.1と同じ様にできるので自分でも考えて欲しいのですが、) 先ず、直線OC について対称に P3 を移して P3'' とすれば、
　∠OP2'P3 = ∠P3''P2'O　…(b')
という具合に回答No.1の(b)とまた同様の配置の式です。で、回答No.1と同様の式変形をすれば良いだけです。
　∠P1P2'P3'' = … = ∠CP2'O = π
となります。

お礼

御返答有難うございます、もうちょっと読み込んでみます

補足

分かりました、ありがとうございます、ちょっと曖昧な部分もあるので、又質問するかもですが、宜しくお願いします

回答No.2

akinomyoga

> P'[3]以降が同じ直線上にある事が分かりません

鏡像(線対称に転写した像)の角度は、元の角度を保持しています。

従って、
　光の入射角と反射角が同じ事から ∠P0P2P1 = ∠P0P2O,
　ここで、鏡像の角度 ∠P1P2'C = ∠P0P2P1, ∠OP2'P3 = ∠P0P2O より、
　∠P1P2'C = ∠OP2'P3　…(a')
です。後は、P3' について、P2'の時と同じようにできますよね?

P[4] 以降についても、鏡像の鏡像、鏡像の鏡像の鏡像、…という事になりますが、元々の角度をそのまま引き継いでいくので (a), (a') と同様の関係が常に成立しています(これはわざわざ示す必要もないかと思います)。つまり、同様に全て直線になる事が示せます。

お礼

御返答有難うございます

補足

>光の入射角と反射角が同じ事から ∠P0P2P1 = ∠P0P2O,
∠P0P2Oってπですが、何か書き間違えでは？

>鏡像の角度 ∠P1P2'C = ∠P0P2P1
CっていうのはAをOBに関して対称移動した点ですか？

>∠OP2'P3 = ∠P0P2O
ここでも∠P0P2Oはπのはずですが∠P0P2Oは∠P[0]P[2]Oの事ですよね？

OC上に点P'[2],P'[4]等が並ぶのが分からないのですが、最初みたいに角度でπになるから直線上にあるみたいな感じでお願いできますか？

回答No.1

akinomyoga

光が反射する時の "鏡像を考えると直線になる" という性質を使っているだけです。

もっと基本的な光の性質からこれを理解するには、例えば、光の入射角と反射角は同じになるという事実を使います。
　入射角 = 反射角,
　90度 - ∠P0P1B = 90度 - ∠OP1P2,
　∠P0P1B = ∠OP1P2.…(a)
ここで、P2' は P2 の OB についての鏡像なので、
　∠OP1P2 = ∠P2'P1O.…(b)
従って、
　∠P0P1P2' = ∠P0P1B + ∠BP1P2'
　　= ∠OP1P2 + ∠BP1P2' (∵a)
　　= ∠P2'P1O + ∠BP1P2' (∵b)
　　= ∠BP1O = 180度
なので直線です。

続きの鏡像についても全て光の軌跡である事を考えれば、各点で直線になる事がそれぞれ同様に示せます。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、分かりやすかったです、これでP[0],P[1],P'[2]が同じ直線上にあるのは分かったのですが、P'[2],P'[4]....が同じ直線OC上にあるというのが分かりません、やってみたのですが、P'[2]まではなんとか同じ直線上にあるのは分かるのですが、、P'[3]以降が同じ直線上にある事が分かりません