数学

質問

AB＝120cmを直径とする半円があります。Aを出た光が半円の内部で２回反射して半径ＯＢ上の点Ｐを通るとき、光の方向をいろいろ変化させると、ＯＰの最小値はいくらになりますか

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

もっとうまいやり方があるような気がしますが、接弦定理や正弦定理を使って考えてみます。

　1回目に反射する半円弧上の点をC、2回目に反射する半円弧上の点をDとします。
　点Cでの円Oの接線をlとし、直線OCに対して点Aと同じ側の接線l上の点をE、反対側の接線l上の点をFとします。
　同様に点Dでの円Oの接線をmとし、直線ODに対して点Cと同じ側の接線m上の点をG、反対側の接線m上の点をHとします。

　∠ACE=θ　とします。
　1回目の反射の条件から　∠FCD=θ
　接弦定理から　∠CAD=∠CDA=θ、　∠AOC=2θ
　∠CAD=∠CDA　から　AC=DC　∴∠AOC=∠COD=2θ　（∵　同一円に張った弦の長さが等しければ中心角は等しいので。）
　∴∠DOB=180°-∠AOD=180°-4θ　　・・・・・・(1)

　△OADはOA=ODの二等辺三角形なので　∠ODA=(1/2)∠DOB=90°-2θ　　（∵　式(1)から　）
　OD⊥GD　なので　∠GDC=90°-∠ODA-∠CDA=90°-(90°-2θ)-θ=θ
　2回目の反射の条件から　∠HDP=∠GDC=θ
　OD⊥HD　なので　∠PDO=90°-∠HDP=90°-θ　　・・・・(2)

　△OPDの内角の和は180°ですので　(1)(2)から
　　∠OPD=180°-∠DOP-∠PDO=180°-(180°-4θ)-(90°-θ)=5θ-90°　・・・・(3)

　△OPDにおいて　正弦定理から　OD/sin∠OPD=OP/sin∠PDO
　　∴　OP=ODsin(90°-θ)/sin(5θ-90°)=ODcosθ/{-cos(5θ)}
　　　　　=OD/{-16(cosθ)^4+20(cosθ)^2-5}　　　　（∵　cos(5θ)=16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ　）

　t=(cosθ)^2, f(t)=-16t^2+20t-5 と置きますと、OPは次のように書けます。
　　OP=OD/f(t)

　ところで今、OPの最小値を求めたいので、OD=60cm(一定)ですので、f(t)が最大となるときOPは最小になります。

　光は２回反射して半径OB上を通過しますので、中心角∠AOC、∠CODに注目しますと、次の条件を満たさなければなりません。
　　60°≦2θ＜90°　∴30°≦θ＜45°
　このとき　t　の取りうる範囲は　t=(cosθ)^2 ですので 次のようになります。
　　1/2<t≦3/4　　・・・・・(4)

　この(4)の範囲でf(t)が最大になるのは、　f(t)=-16(t-5/8)^2+5/4　となることから、
　　f(t)の最大値 =5/4 　（t=5/8 のとき）
となります。

　従って、OPが最小となるのは、θ=arccos(√10/4)≒37.761°　のときで
　　OPの最小値 =OD/(5/4)=48 (cm)
となります。

お礼

教えていただきありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

一度、円の半径を rとして考えることにします。
添付の図では、直径に対してθの角度で光を発したこととしています。

まず、θには条件がつきます。
添付の左上の図のとおり、
・θ＝ π/4（45度）のときは、1回しか反射できません。
・逆に、θ＝ π/3（60度）のときは、3回反射してしまいます。

よって、π/4＜ θ＜ π/3という条件がつきます。

点Oと頂点とする二等辺三角形、反射における入射角と反射角の関係を考慮すると、
右下の図のように角度が与えられます。
三角形 OTPについて、正弦定理を考えれば
r/(sin(2π-5θ))＝ x/sin(θ)
x＝ r* sin(θ)/(sin(2π-5θ))

となります。
あとは、θの変化を見て xの最小値を求めればよいのですが、簡単ではありません。
というのは、高校数学のようには求められそうにないからです。

微分をして最小値を与えるθを考えると、
5* tan(θ)＝ tan(5θ)

という関係式を満たすθを求めることになります。
先に求めていた範囲で θを求めると、θ≒ 0.29π≒ 52.2度となります。
このときの xの値は、x≒ 0.8* rです。

いま、r＝ 60cmですから、OPの最小値は約 48cmということになります。

θ＝ π/4から大きくしていくと、はじめは点Pは中心に近づいていきますが、
最小値のときを境に遠ざかります。
これは、2回目の反射から線分OBに到達するまでの距離がどんどん短くなってくることが原因だということになりますね。

変な計算間違いをしてなければいいのですが。＾＾；