重積分の変数変換

質問

この写真の問題がよくわかりません。
なぜ解の式の1行目から2行目のようにy^2が消えてしまったのでしょうか？？変数変換で特に被積分の式の変換がよくわかりません。
教えていただきたいです。
よろしくお願いします。m(__)m

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

x,y座標から極座標に変換しています。

x=rcosθ、y=rsinθ

変換に伴うヤコビアン（url参照）

∂(x,y)/∂(r,θ)＝r

を用いて置換積分は一般的に

I=∫f(x,y)dxdy=∫f(rcosθ,rsinθ)[∂(x,y)/∂(r,θ)]drdθ

で表される。

f(x,y)=√(a^2-x^2-y^2)=√(a^2-r^2cos^2θ-r^2sin^2θ)=√[a^2-r^2(cos^2θ+sin^2θ)]

=√a^2-r^2

I=∫f(x,y)dxdy=∫[r:0,a]∫[θ:0,2π][√a^2-r^2]rdrdθ=2π∫[r:0,a][√a^2-r^2]rdr(θで積分）

この積分の難しさはむしろこの後です。

d[(a^2-r^2)^(3/2)]/dr=(3/2)(a^2-r^2)^(1/2)(-2r)=-3r(a^2-r^2)^(1/2)

は解りますか。

従って

∫[√a^2-r^2]rdr=(-1/3)∫{d[(√a^2-r^2)]^3/dr}=(-1/3)[(√a^2-r^2)]^3

∫[r:0,a][√a^2-r^2]rdr=(-1/3)[(√a^2-r^2)]^3[r:0,a]=a^3/3

よって

I=2πa^3/3

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/multi_integral5.htm

お礼

とても丁寧な解説ありがとうございました。式も解説みながらなんとか納得するまで理解することができました。本当にありがとうございました！！

回答No.1

Tacosan

どのような変数変換を行ったのか, わかりますか?

お礼

なんとか理解できました！
わざわざすみません。ありがとうございました！