重積分の変数変換問題

質問

重積分について勉強していたら
∬x^2dxdy D:{(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}を
適当な変数変換を用いて解け
…という問題でつまってしまいました。
僕はx/a=u,y/b=vと変数変換して
与式=∬a^3bu^2dudv E:{(u,v)|u^2+v^2≦1}
として重積分して
　　=∫[v:-1→1]dv∫[u:-√1-v^2→:√1-v^2]a^3bu^2du
=a^3b∫[v:-1→1][u^3/3][u:-√1-v^2→:√1-v^2]dv
=2a^3b/3∫[v:-1→1](1-v^2)^3/2dv
と求めましたが、これ以降が行き詰ってしましました。

これ以降の計算方法がわかる方、またはまったく異なる計算方法をご存知の方は教えてください！

回答No.2

phusike · ベストアンサー

要するに ( 1 - v^2 ) ^ (3/2) の積分で詰まってしまったということでよいでしょうか。
一般に ( 1 - v^2 ) の形が出てくれば v = sin t の置換が有効です。
この場合
( 1 - v^2 ) ^ (3/2) dv = cos^3 t × cos t dt = cos^4 t dt

cos^2 t = ( 1 + cos 2t )ですので、
cos^4 t = 1 + 2 cos 2t + cos^2 2t
となり、もう一回半角の公式を使えば積分できます。

三角関数の積分は、cos x dx = d(sin x)を使うもの、
今回のように半角の公式を駆使するもの、
さらにtan (x/2) = t とおいて有理関数の積分に持ち込むもの等、
様々な手法があります
これを期に復習なさることを勧めます。

個人的には、この問題を見た時に思ったのは、
Dは楕円の内部ですよね。
そうすると、(x,y) = ( ar cos t, br sin t )で置換するのが一番楽ではないかと思います。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます！
よくわかりました。
今から自分でもといてみます。

回答No.1

info22

＞=2(a^3)(b/3)∫[v:-1→1](1-v^2)^(3/2)dv
=4(a^3)(b/3)∫[v:0→1](1-v^2)^(3/2)dv

8∫(1-v^2)^(3/2)dv
=2v(1-v^2)^(3/2) + 3(1-v^2)^(1/2) + 3 arcsin(v)+C
なので

=3π/2
と出ます。

お礼

ありがとうございました！
今からやってみます。