重積分 体積

質問

x^2+y^2≦1 ,-y≦z≦2y
であらわす体積を求める問題ですが
∫∫3y dxdy=．．．
なぜ3yを重積分するのですか？
．．．以降のx=rcosθなどと変数変換して解くのは分かります。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

No.2
>体積は3重積分だったかな？

>1重積分が面積
>2重積分が体積
>3重積分は質量では？
基本的には間違い。但し、特別な場合は積分の重数を下げることができます。

[2重積分は面積]
ただし、特別な場合には1重積分に変形できます。
面積当たりの密度ρを面積素dSに掛けて積分すれば質量Mになります。

面積Sは微小な面積素dSを積分したものです。
S=∫∫[S]dS
ここで　dS=dxdy(xy座標の場合)、
dS=rdrdθ(極座標の場合)
なので
面積S=∫∫[S] dxdy or S=∫∫[S] rdrdθ
質量M=∫∫[S] ρ(x,y)dxdy
[xy座標の場合]の場合を例にとると
S=∫∫[S] dxdy
=∫[x1→x2]{∫[y1→y2]dy}dx
yがxの陽関数で表せるような特別な場合
S=∫[x1→x2](y2-y1)dx
=∫[x1→x2](f2(x)-f1(x)}dx
特にf1(x)=0(f2(x)=f(x)とx軸で囲まれた領域の面積）の場合
S=∫[x1→x2] f(x)dx
（このケースが多いので面積は1重積分と勘違いされる。）

[3重積分は体積]
ただし、特別な場合には2重積分に変形できます。
体積当たりの密度ρを体積素dVに掛けて積分すれば質量Mになります。

体積Vは微小な体積素dVを積分したものです。
V=∫∫∫[V]dV
ここで　dV=dxdydz(xyz座標の場合)、
dV=r^2sinθdrdθdφ(球座標の場合)
体積V=∫∫∫[V}dxdydz
質量M=∫∫∫[V]ρ(x,y,z)dxdydz

[xyz座標の場合]の場合を例にとると
V=∫∫[V] dxdydz
=∫∫[V]∫[z1→z2]dzdydx
zがx,yの陽関数z=f(x,y)で表せるような特別な場合
V=∫∫[D]∫{f2(x,y)-f1(x,y)}dxdy
特にf1(x,y)=0(f2(x,y)=f(x,y)とxy座標面で囲まれた領域の体積）の場合
V=∫∫[D] f(x,y)dxdy、(DはVをxy座標面に直投影した積分領域)
特にzが陽関数z=f(x,y)の形で表せる場合はzの積分ができて積分の重数を１つ下げ2重積分に変形できます。
ただし、体積をこの式で堆積計算するケースが多いので体積は2重積分で定義されると勘違いされやすいので要注意。
質量についても、3重積分で求めるが、密度ρ=ρ(x,y)やz=f(x,y)などと書ける場合には、z方向に積分できて、質量を2重積分で表せる場合もあることに注意したい。

以上、積分の重数と面積・体積・質量の関係について
補足しておきます。

お礼

詳しくありがとうございます

回答No.3

Water_5

体積は3重積分だったかな？

1重積分が面積
2重積分が体積
3重積分は質量では？

よくわかりませんが。

回答No.2

info22_

>x^2+y^2≦1 ,-y≦z≦2y
この立体の領域Rを求める体積積分の積分表現は教科書で習いませんでしたか？

>であらわす体積を求める問題ですが

本来の体積の定義式は
V=∫∫∫[R] dV
=∫∫∫[x^2+y^2≦1,-y≦z≦2y] dxdydz

と3重積分で表します。
特にz=f(x,y)で表せる場合は2重積分に変形できて
V=∫∫[x^2+y^2≦1] dxdy∫[-y≦z≦2y] dz
=∫∫[x^2+y^2≦1] dxdy [z](z=-y→2y)
=∫∫[x^2+y^2≦1] [2y-(-y)]dxdy
=∫∫[x^2+y^2≦1] (3y)dxdy
と表せます。

>なぜ3yを重積分するのですか？
なぜ3yがでてくるのかお分かりになりましたか？

z=f(x,y)と書ける場合の２重積分による体積公式
　V=∫∫[D] zdS
　 =∫∫[D] f(x,y)dxdy
は3重積分による積分公式から導出された公式であることを覚えておきましょう。z=f(x,y)と表せない場合も有り得るので
元になっている3重積分の体積積分の定義式（公式）をしっかりと覚えておいて下さい。

お礼

疑問に答えてくださってありがとうございました

回答No.1

ask-it-aurora

体積 V は3重積分で求められます．いま問題の設定から z の積分範囲が -y ≦ z ≦ 2y となっているので， 最初に z で積分したときに 3y が出てくるからです．

V =
∫∫[x^2 + y^2 ≦ 1] dxdy ∫[-y ≦ z ≦ 2y] dz 1 =
∫∫[x^2 + y^2 ≦ 1] dxdy [2y - (-y)] =
∫∫[x^2 + y^2 ≦ 1] dxdy 3y.

お礼

簡潔でわかりやすかったです
ありがとうございました