数列の問題 中学受験問題

質問

お恥ずかしいのですが助けていただきたいです。
姪っ子から塾の宿題を質問されているのですが
行き詰ってしまいました。

下記、数列で
４, ３, ２, １, ５, ４, ３, ２, ６, ５, ４, ３, ７, ６, ５, ４, ８....

(1) 30番目の数はいくつか

(2)　はじめて25がでるのは何番目か

(3)　はじめから55番目の数を加えるとその和はいくつか

これは、公式を当てはめることはできるのでしょうか、、
等差数列ではないので、(3)は（初めの数＋終わりの数）×個数÷2を当てはめることができず
表を書いて解いていました。

このパターンは公式などあるのでしょうか？
ネットを検索しているのですが分からず、
情けないのですがいきづまっております。
助けていただけるとありがたいです。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.7

noname#215361

問題の数列を、(4,3,2,1)(5,4,3,2)のように四つずつのグループに区切ると、最初からn番目のグループは（n+3,n+2,n+1,n)になることが分かります。（規則性があります。）

(1)30番目の数はいくつか
30÷4=7余り2
よって(7+1=8)番目のグループの中の2番目で
8＋2＝10

(2)はじめて25がでるのは何番目か
(25,24,23,22)となるときで25=22+3からこのグループは22番目である
その前には4×21=84個の数字があることから
84＋1＝85番目

(3)はじめから55番目の数を加えるとその和はいくつか
55÷4=13余り3
よって55番目の数字は14番目のグループの中の3番目である
各グループの中の四つの数字の合計は
初項(4+3+2+1=10）交差4の等差数列になるので
13番目のグループまでに出てくる数字の合計は
{10+10+(13-1)×4}×13÷2=442
よって求める和は
442+(14+3)+(14+2)+(14+1)=442+17+16+15=490

回答No.6

noname#227653

こういう問題で最も大切なことは「グループ分けをする」ことと、「聞かれている数が第何グループの何番目かを考える」ことです。

まず、この数列は４つで１グループになっていることに気づくといいですね。
第１グループが（４，３，２，１）、第２グループが（５，４，３，２）、第３グループが（６，５，４，３）…と続いていきます。

まず（１）です。30番目の数は第何グループの何番目でしょうか。これは簡単。４で割ればいいですね。30÷４は７余り２です。ここで「第７グループの２番目だ」と考えてはいけません。グループが７つあってあと２つ数があるのですから、最後の数は第８グループですね。第８グループの２番目です。
ここまでくれば難しくありません。いろいろな考え方がありますが、そのひとつとしてここでは各グループの最後の数に注目しましょう。第１グループの最後の数は１、第２グループの最後の数は２ですね。だから第８グループの最後の数は８です。そうすれば、第８グループの４つの数を書き出すのは簡単なことですね。（11、10、９、８）です。この２番目の数ですから答えは10ですね。

次に（２）です。まず25は、グループ内の４つの数のうち何番目にあるでしょう。それは１番目ですね。問題に書かれている部分を見ても、４は第１グループの１番目、５は第２グループの１番目、６は第３グループの３番目にありますね（３、２、１はすべて第１グループに出てきますがこの３つは例外です）。
このあとは（１）と同様いろいろな解き方があるでしょうが、ここでは25が含まれるグループの４つの数を書き出してみましょう。25から始まるのですから（25、24、23、22）ですね。そうするとこれは第22グループだということがわかります。（１）と同じで最後の数を見ればいいのです。１グループの数は４つですから22グループまでに88個の数があるということがわかりますね。だから25はそれより３つ前で85番目です。ただしこれは第21グループまでを計算しても出ます（というよりこの方がミスが少なくなります）。第21グループまでに数は21×４で84個あります。とするとその次が第22グループの１番目ですから84＋１で85番目と出せますね。

（３）も（１）と同様に、まず55番目の数が第何グループの何番目にあるかを考えます。55÷４は13余り３ですから、第14グループの3番目ですね。
そうしたら、第１グループから第13グループまでは計算で出しましょう。
まず、第１グループの数の和は10、第２グループの数の和は14、第３グループの数の和は18です。これは等差数列になっていますね。そして、第13グループの最後の数は13ですから、４つを書き出せばすぐに和が出せます。（16、15、14、13）ですから和は58ですね。
すると第１グループから第13グループまでの和は10＋14＋18＋…＋58ですから、等差数列の和の公式で（10＋58）×13÷２＝442です。
最後に、第14グループの３つの数を足すのを忘れてはいけません。第14グループは（17、16、15、14）ですから、そのうちの３つ、つまり17と16と15を足せばいいということになります。442＋17＋16＋15＝490ですね。

というわけで、繰り返しになりますがこういう問題では「グループ分けをする」ことと、「聞かれている数が第何グループの何番目かを考える」ことを大切にして考えていって下さいね。

回答No.5

maiko0318

1番目4、5番め5、9番目6ですから、
4つおきに１つ増えるという仕組みですね。

(2)は番目を4で割った商+4=25　で　84番目

(1)は4つづつですから30番目は8グループ目の2つ目
8グループ目の最初は 番目を4で割った商(29)+4=x で33

(3)55個ということは14グループの3つ目までですね。
14グループの最初は　番目を4で割った商(53)+4=x で57
４が4回、５が4回、・・・・(56,57,58,59),(57,58,59)
4から57までは4回ずつ、58は3回、59は2回。　　あとは計算してください。

回答No.4

asuncion

おっと失礼。

(1)
8回目のパターンは11から始まる。
∴30番目の数は10

回答No.3

asuncion

(3)において、パターンごとの総計は
初項10、公差4の等差数列。
初項から13項までの総計は、13(2×10+4(13-1))/2=442
あるいは、初項10から末項58までの総計は、13(10+58)/2=442

という、等差数列に関する公式が使えます。
小学生が知っているかどうかはともかく。

お礼

asuncion様

改めてありがとうございます！

姪っ子と皆様からのアドバイスどおり
数列を並べてみたら、パターンが見えてきました。

(3)はパターンとして、初項10で、公差4です

等差数列の和は、塾でならったそうなんですが
応用できませんでした、、、
「こうやって考えるんだ！すごい！」と
姪っ子も喜んでいます

ありがとうございました！！本当に助かりました！

回答No.2

yyssaa

＞４数字ずつ区切ると分かり易いでしょう。
どの行もどの列も整然と並んでいます。
４, ３, ２, １,
５, ４, ３, ２,
６, ５, ４, ３,
７, ６, ５, ４,
８, ７, ６, ５,
９, ８, ７, ６,
１０,....

回答No.1

asuncion

4, 3, 2, 1
5, 4, 3, 2
6, 5, 4, 3
7, 6, 5, 4
8, 7, 6, 5
...
以下同様

(1)
30番目の数は、上記のパターンを7回繰り返した
次の次の数。つまり、8回目のパターンの2個目の数。
1回目のパターンは4から始まるので、
8回目のパターンは11から始まる。
∴30番目の数は12

(2)
初めて25が出るのは、22回目のパターンの先頭。
∴21×4+1=85番目

(3)
1回目のパターンの総計=10
2回目のパターンの総計=14
3回目のパターンの総計=18
...
以降、パターンが1回増えるたびに総計は4ずつ増える。
55番目の数は、14パターン目の3個目。
13パターン目までの総計は、
10+14+18+...+58=442
14パターン目の先頭3個は17+16+15=48
∴55番目までの総計は490

お礼

asuncion様

ありがとうございますっ
こうやって考えるんですね、、

本当ですね
繰り返されるパターンがあります。。

ああ、すごいわかりました
ずっと一列で数列を見ていました。
こうやって、縦横で並べるとわかりやすいですっ
ありがとうございます！

姪っ子もだいぶすっきりして喜んでいます。
ありがとうございましたっ助かりました！