等差数列についての質問です

質問

等差数列をなす３数がある。その和は１５で平方の和は８３であるという。この３数を求めよ。（等差数列の和の公式はつかわず）という問題なのですが、

公差d,真ん中の値をaとし
３数を、a-1,a,a+1と表し

a-1+a+a+d=15
(a-1)^2+a^2+(a+d)^2=83
これを展開して、3a^2+2d^2=83というところまではできたのですがここからどうやって計算していいのか分からず困っております。基礎の質問とはおもいますがご回答の方よろしくお願いいたします。

回答No.3

tomokoich · ベストアンサー

まず最初の式が公差がdなので真ん中がaとすると前後の数は±dということになりますので
(a-d)+a+(a+d)=15という式が成り立ちます
3a=15
a=5
真ん中の値は5ということがわかります

そうすると3つの数は5-d,5,5+dと表せますので次の条件平方の和が83を式で表します

(5-d)^2+5^2+(5+d)^2
=(25-10d+d^2)+25+(25+10d+d^2)
=75+2d^2=83
ということになります
よってこの式を解くと

2d^2=83-75
2d^2=8
d^2=4
d=±2になります。交差は±2

3つの数は3,5,7になります

お礼

ご回答の方まことにありがとうございます。(a-d)+a+(a+d)=15の式からaの値が出ることをすっかり忘れて２番目の式ばかり見ていました。詳しい途中式、解説の方誠もにありがとうございます。おかげで解決いたしました。

回答No.2

mister_moonlight

3数をα、β、γ　(α＞β＞γ)とする。
条件から、2β＝α＋γ　‥‥(1)、α＋β＋γ＝15　‥‥(2)、α＾2＋β＾2＋γ＾2＝83　‥‥(3).
(1)と(2)から、β＝5、　α＋γ＝1０であるから、(3)に代入すると、αγ＝21。
従って、αとγは　t＾2-10t＋21＝0　の解だから、方程式を解くと　t＝3、7。
以上から、求める3数は　3、5、7.

お礼

ご回答の方まことにありがとうございます。詳しい途中式の方誠にありがとうございます。おかげで解決いたしました。

回答No.1

embpul

真ん中の数をa，公差をdとするなら，
和が15，平方の和が83になるので，

(a-d)+a+(a+d)=15…(1)
(a-d)^2+a^2+(a+d)^2=83…(2)となります。

(1)をとけばaの値がでるので，これを(2)に代入すれば…。
ということだと思います。

最初の数をaとした場合などは，dが消えてくれないこともあるので，その時は連立させて解いて下さい。
わからない文字の数だけ式をつくれば，後は連立でいけますよ。

お礼

ご回答の方まことにありがとうございます。(a-d)+a+(a+d)=15の式からaの値が出ることをすっかり忘れて２番目の式ばかり見ていました。詳しい途中式の方誠にありがとうございます。おかげで解決いたしました。